定义在R上的函数f(x),对于任意的x，y∈R
定义在R上的函数f(x),对于任意的x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x＞0时f(x)＜0,f(1)=-2 （1）判断f(x)的奇偶性并证明 （2)判断f(x)的单调性，并求当x∈[-3,3]时f(x)的最大值与最小值。
解: 令x=y=0,则:f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0。 令x=x,y=-x,则:f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),∵f(0)=0,∴f(x)+f(-x)=0 ∴f(-x)=-f(x)∴f(x)的是奇函数。 设x1＜x2,则x2-x1＞0, ∵当x＞0时f(x)＜0 ∴f(x2-x1)＜0 ∴f[(x2)+(-x1)]＜0 ∴f(x2)+f(-x1)＜0,又∵f(x)的是奇函数,f(-x)=-f(x)。
∴f(x2)-f(x1)＜0,即:x1＜x2且f(x2)＜f(x1) ∴f(x)的是减函数。 当x∈[-3,3]时f(3)≤f(x)≤f(-3) f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1) 又∵f(1)=-2∴f(3)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6, ∵f(3)≤f(x)≤f(-3)即:-6≤f(x)≤6。
∴当x∈[-3,3]时f(x)的最大值与最小值分别是6与-6。 。
答：f(1)=f(1+0) =f(1)+f(0) =1 f(0)=0 f(-x)=f(x-2x) =f(x)+2f(-x) f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数...详情>>
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