取F1F2中点O为极点，OF2所在射线为极轴， P(ρ，θ)为轨迹上任一点，则 丨F1P|^2·|F2P1=a^4. 依余弦定理得， |F1P|^2=ρ^2+a^2-2aρcos(π-θ) =ρ^2+a^2+2aρcosθ， |F2P|^2=ρ^2+a^2-2aρcosθ. ∴|F1P|^2·|F2P|^2=(ρ^2+a^2)^2-4a^2ρ^2(cosθ)^2=a^4 →ρ^2(ρ^2-2a^2cos2θ)=0， ∴ρ^2=0，ρ^2-2a^2cos2θ. ρ=0表示极点(0，π/4)，包含于第二个方程， 故所求方程为:ρ^2=2a^2cos2θ。 化为直角坐标系方程即:(x^2+y^2)^2=2a(x^2-y^2)。
以线段F1F2的中点为原点，以从O指向F2为x轴正向，建立相应y轴，则F1(-a,0),F2(a,0), 满足|PF1|*|PF2|=a^2的动点P(x,y)轨迹方程就是[(x+a)^2+y^2}[(x-a)^2+y^2]=a^4， 可化简为(x^2+y^2)^2=2a(x^2-y^2)。
【注一】在极坐标系中方程可更简洁：ρ^2＝2a^2cos2θ，这就是有名的伯努利双纽线。 【注二】满足|PF1|*|PF2|=b^2的动点P(x,y)轨迹[(x+a)^2+y^2}[(x-a)^2+y^2]=b^4称“卡西尼卵形线”。b=a时的“伯努利双纽线”是“卡西尼卵形线”的一种特殊情况。
b＞a＞0形似单细胞卵，a＞b＞0形似双细胞卵，b=a是细胞分裂的临界状态。 【注三】再加上 ①到两定点距离之和为定值的动点轨迹为椭圆； ②到两定点距离之差为非零定值的动点轨迹为双曲线，到两定点距离之差为零的动点轨迹为直线； ③到两定点距离之商为非1定值的动点轨迹是阿波罗尼圆，到两定点距离之商为1的动点轨迹为直线。
那么到两定点距离之和、差、积、商为定值的动点轨迹都清楚了。
以F1F2为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则F1(-a,0),F2(a,0), 设动点P(x,y),由|PF1|*|PF2|=a^,得 [(x+a)^+y^}[(x-a)^+y^]=a^4,为所求。
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