任何通过两个平面交线的平面方程都可以通过两个平面方程的线性组合来表示。所以可以设所求平面方程为 (3x+y-z+5)+t(x-y+z-2)=0。 (3+t)x+(1-t)y+(t-1)z+(5-2t)=0 所求平面的法向量为(a,b,c),a=3+t, b=1-t, c=t-1。
因为所求平面于平面y-z=0成45度角， 所以法向量(a,b,c)与法向量(0，1，-1)之间成45度角或者135度角。 (a,b,c)。(0,1,-1)=|(a,b,c)|*||(0,1,-1)|*cos(45) 或者cos(135)。
如果取绝对值，则|b-c|=根号{a^2+b^2+c^2}*根号{2}*根号{2}/2。 (b-c)^2=a^2+b^2+c^2, 所以 -2bc=a^2, 或者-2(1-t)(t-1)=(3+t)^2, 2-4t+2t^2=9+6t+t^2, t^2-10t-7=0, t=5-4根号{2}，t=5+4根号{2}，代人方程即可得两个平面方程。
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