一道高中数列数学题
已知数列{Xn}满足X(n+1)=(Xn+4)/(Xn+1),X1=1,(n∈N+)
(1)是否存在m∈N+,使Xm=2?证明你的结论
（2）试比较Xn与2的大小关系
（3）设an=|Xn-2|,数列{an}的前n项和为Sn,求证：Sn≤2-2^(1-n)
我要详细的过程，请各位尽量写的详细点，谢谢大家的帮助
解：(1)X(n+1)=(Xn+4)/(Xn+1)=1+3/(Xn+1)……(1)
假设存在m,使Xm=2,则X(m+1)=X(n+2)=……=2
即Xm后的所有项都为2值。
又X(m-1)=3/(Xm-1)-1
由上式可推知：X(m-1)=X(m-2)=……=x1=2
即如果存在m∈N+,Xm=2,那么数列{Xn}是恒等于2的数列,但已知X1=1,与以上结果相矛盾,因此不存在m∈N+,使Xm=2。
(2)由式(1)可知,当Xn1,这时X(n+1)>2。
当Xn>2时,3/(Xn+1)2
X2>2,X32。
(3)由式(1)知Xn≥1(X1=1)
式(1)变为：(X(n+1)-2)/(Xn-2)=-1/(Xn+1)
an=|Xn-2|,即：
q=a(n+1)/an=|1/(Xn+1)|≤1/2
a1=|X1-2|=1
Sn=a1+a2+……+an≤a1+a1*q+……+a1*q^(n-1)
=a1(1-q^n)/(1-q)
=(1-(1/2)^n)/(1-1/2)
=2*(1-2^(-n))
=2-2^(1-n)
。
1. 若存在m∈N+,使Xm=2：Xm=[X(m-1)+4]/[X(m-1)+1] ==> X(m-1)=2 ==> X1=X2=...=X(m-2)=2，与已知矛盾 因此，不存在m∈N+,使Xm=2 2. X(n-1) =[X(n-2)+4]/[X(n-2)+1] =1 +3/[X(n-2)+1] > 1 ==> X(n-1)+1 > 2 ==> Xn =1 +3/[X(n-1)+1] 0 A(n+1)=An/(3-An) An <= 1 +1/2 +...1/2^(n-1) =2 -2^(1-n)
已知数列{Xn}满足X(n+1)=(Xn+4)/(Xn+1),X1=1,(n∈N+)
(1)是否存在m∈N+,使Xm=2?证明你的结论
（2）试比较Xn与2的大小关系
（3）设an=|Xn-2|,数列{an}的前n项和为Sn,求证：Sn≤2-2^(1-n)
我要详细的过程，请各位尽量写的详细点，谢谢大家的帮助
答：A=a1(q^n-1)/(q-1),B=(a1)^nq^[n(n-1)/2],1/an=q/(a1q^n) C=(q/a1)(1/q+1/q^2+1/q^3+v...详情>>
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