把矩阵写出来，一看就明白了：
反证法：设R(A) X^T[AB+B^TA]X= =[AX}^T[BX]+[BX}^T[AX]=0 和AB+B^TA正定矛盾， 所以R(A)=n。
对于任何矩阵A。由定义可以证明 A*A^T == 这里表示A乘以A的转置 是半正定矩阵。 事实上，对任何行向量x (m维),设y = x*A，则y是一个n维行向量。很显然 y*y^T>=0由此可以推得 x(A*A^T)*x^T = (x*A)*(A^T*x^T) = (x*A)*(x*A)^T =y...
用二次型半正定的定义证明。 证：(AA^T)^T=AA^T，即AA^T是对称矩阵。 设二次型f(x)=x^T(AA^T)x，则对于任意的x≠0，有 f(x)=(A^Tx)^T(A^Tx)≥0，故f(x)是半正定二次型， 则对应矩阵AA^T为半正定矩阵。 上式成立的理由如下： 由r(A)=m＜n知齐次...
详细解答如下：
充分性。 秩（B）＝n，则对于任意的非零向量x，Bx≠0。所以x'B'ABx＝（Bx）A（Bx）＝y'Ay，其中y＝Bx。则y≠0。因为A对称正定，所以y'Ay>0，从而x'B'ABx＝y'Ay>0，所以B′A B为正定矩阵。 必要性。 反证法。 假设秩（B）≠n，则Bx＝0有非零解，设x0是Bx＝...
问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一个n阶实矩阵B, 使AB+B^tA是正定矩阵与秩(A)=n互为充要条件, B^t=B的转置 1.设秩(A)=n==> A^2是正定矩阵. B=A/2 ==> AB+B^tA=A^2是正定矩阵. 2.设AB+B^tA=C是正定矩阵. A是一个n阶实对称矩阵=...
设A，B是n阶实矩阵，若A^2＝A，B^2＝B，则称A，B为幂等阵。已知A，B是幂等阵，证明A+B也是幂等阵的充要条件是AB+BA＝O。 证明:因为A，B是幂等阵,所以A^2＝A，B^2＝B.于是 A+B是幂等阵(A+B)^2=A+BA^2+AB+BA+B^2=A+B AB+BA＝O. 注意:因为矩...
用A'表示A的转置阵，这样看起来清楚些。 A是矩阵，X是列向量，则AX是列向量，而(AX)'是行向量， (AX)'(AX)=|AX|^2，也就是向量AX自己与自己作数量积，是这个向量模的平方，不会是负数，这与X是不是零向量也是没有关系的。 X≠0不是在这里用的，显然X=0时，AX一定是零向量， 从而...
对于任何矩阵A。由定义可以证明 A*A^T == 这里表示A乘以A的转置 是半正定矩阵。 事实上，对任何行向量x (m维),设y = x*A，则y是一个n维行向量。很显然 y*y^T>=0由此可以推得 x(A*A^T)*x^T = (x*A)*(A^T*x^T) = (x*A)*(x*A)^T =y...
A为n阶可逆矩阵，所以A的特征值中没有0，R(A)就是非零特征值的个数，当然R(A)=n
用二次型半正定的定义证明。 证：(AA^T)^T=AA^T，即AA^T是对称矩阵。 设二次型f(x)=x^T(AA^T)x，则对于任意的x≠0，有 f(x)=(A^Tx)^T(A^Tx)≥0，故f(x)是半正定二次型， 则对应矩阵AA^T为半正定矩阵。 上式成立的理由如下： 由r(A)=m＜n知齐次...
