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线代问题 设A为m乘n实矩阵,且r(A)=m<n,试证:A乘以A的转置为阶半正定矩阵.

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线代问题 设A为m乘n实矩阵,且r(A)=m&lt;n,试证:A乘以A的转置为阶半正定矩阵.


        

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  • 2018-04-19 05:00:29
    用二次型半正定的定义证明。
    证:(AA^T)^T=AA^T,即AA^T是对称矩阵。
    设二次型f(x)=x^T(AA^T)x,则对于任意的x≠0,有
    f(x)=(A^Tx)^T(A^Tx)≥0,故f(x)是半正定二次型,
    则对应矩阵AA^T为半正定矩阵。
    上式成立的理由如下:
    由r(A)=m<n知齐次线性方程组Ax=0有非零解,也就是存在x≠0,使得Ax=0成立,这时“=”成立,否则“>”成立,因为是内积。

    薛***

    2018-04-19 05:00:29

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