线代问题 设A为m乘n实矩阵,且r(A)=m<n,试证:A乘以A的转置为阶半正定矩阵.
用二次型半正定的定义证明。 证：(AA^T)^T=AA^T，即AA^T是对称矩阵。 设二次型f(x)=x^T(AA^T)x，则对于任意的x≠0，有 f(x)=(A^Tx)^T(A^Tx)≥0，故f(x)是半正定二次型， 则对应矩阵AA^T为半正定矩阵。 上式成立的理由如下： 由r(A)=m＜n知齐次线性方程组Ax=0有非零解，也就是存在x≠0，使得Ax=0成立，这时“=”成立，否则“＞”成立，因为是内积。
薛***
2018-04-19 05:00:29
问：矩阵的问题若n阶矩阵A满足A^2-2A-4I=0（I为单位矩阵），试证A+I可逆，并求（A+I）^-1
答：证明：A^2-2A-4I=0 则：A(A-2I)-4I=0 则：1/4A(A-2I)=I 所以：A可逆，并且A的逆等于1/4（A-2I）详情>>
问：矩阵特征值的平方和矩阵乘以矩阵的转置的特征值相等吗
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