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线代二次型的问题

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线代二次型的问题

有一问题,设矩阵A为m*n实矩阵,判定ATA是否为矩阵。

答案为,首先,(ATA)T=ATA,所以ATA是N阶实对称矩阵。
对任意的X≠0,XTATAX=(AX)TAX≥0,所以ATA是半正定矩阵。当R(A)=n,ATA是正定矩阵。
我不明白,为什么X≠0,有(AX)
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  • 2006-08-01 10:16:19
    用A'表示A的转置阵,这样看起来清楚些。
    A是矩阵,X是列向量,则AX是列向量,而(AX)'是行向量,
    (AX)'(AX)=|AX|^2,也就是向量AX自己与自己作数量积,是这个向量模的平方,不会是负数,这与X是不是零向量也是没有关系的。
    X≠0不是在这里用的,显然X=0时,AX一定是零向量,
    从而(AX)'(AX)=0,当然也满足(AX)'(AX)≥0,但并不能保证A'A是半定的,为了得到这个结论,才需要X≠0的条件。

    1***

    2006-08-01 10:16:19

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