如图
以PB为边向△ABC外作正三角形DBP，连接AD
设正△ABC的边长为m
因为∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°
∠DBP=∠DBA+∠ABP=60°
所以，∠DBA=∠PBC
又因为DB=PB=b，AB=CB=m
所以，△DBA≌△PBC
所以，AD=PC=c
那么，在△ADP中，令∠ADP=θ，那么：
cosθ=(b^+c^-a^)/(2bc)
所以，sinθ=√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
那么，在△ADB中，根据余弦定理有：
AB^=AD^+BD^-2AD*BD*cos∠ADB
即：
m^=b^+c^-2bccos(θ+60°)
=b^+c^-2bc[cosθcos60°-sinθsin60°]
=(b^+c^)-bccosθ+√3bcsinθ
=(b^+c^)-[(b^+c^-a^)/2]+√3bc*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]/(2bc)
=(a^+b^+c^)/2+(√3/2)*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]
所以，
m={(a^+b^+c^)/2+(√3/2)*√[2(a^b^+b^c^+c^a^)-(a^4+b^4+c^4)]}^(1/2)。
设P为正三角形ABC平面上任一点，PA=a,PB=b,PC=c，求正三角形ABC的边长。 解 对于正三角形ABC平面上任一点P，过P点分别作PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，垂足分别为D，E，F。 显然可求得: EF=PA*(√3)/2，FD=PB*(√3)/2，DE=PC*(√3)/2， 所以说PA，PB，PC三线段可构成一个任意△DEF。
设△DEF的面积为W，则 2K=√[6(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)-3(a^4+b^4+c^4)]。(1) 2K=(4√3*w)/3 注意:当P点在正三角形ABC的外接圆上，由西姆松定理知:三垂足D，E，F共线，此时三角形DEF退化为直线DEF。
设正三角形ABC边长为d，令T=a^2+b^2+c^2，由旋转变换或解析几何方法可求得: d^2=[T±2K]/2 (2) 当P点在正三角形ABC形内, d^2=[T+2K]/2; 当P点在正三角形ABC形外, d^2=[T-2K]/2; 当P点在正三角形ABC的外接圆上，d^2=T/2。
2(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)-(a^4+b^4+c^4)=0 这就是说，P在正三角形ABC的外接圆上，则PA^2+PB^2+PC^2=2d^2。 。
