向量练习题（1）

一、选择题

1．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式①｜a｜＞｜b｜；②a∥b； ③｜a｜＞

0；④｜b｜=±1；⑤a= ）

ab，其中正确的有（

A．①④⑤

B．③

C．①②③⑤

D．②③⑤

2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（ ）

A．是平行四边形

B．是梯形

C．是平行四边形或梯形

D．不是平行四边形，也不是梯形

3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（

A．一条线段

B．一个圆面

C．圆上的一群弧立点

D．一个圆

4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（ ）

A． 0

B． a

C． b

D． c不存在

5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（ ）

A． BC B． AB C． AC D．AM

6． a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（ ）

A． a∥b且a、b方向相同 B． a=b

C． a=-b

D．以上都不对

7．化简（AB-CD）+（BE-DE）的结果是（ ）

A． CA

B． 0

C． AC

D． AE

8．在四边形ABCD中，AC=AB+AD，则（ ）

A．ABCD是矩形

B．ABCD是菱形

C．ABCD是正方形 D．ABCD是平行四边形

9．已知正方形ABCD的边长为1，AB =a,AC=c, BC=b,则｜a+b+c｜为（ ）

A．0

B．3

C．

2

D．2

2

10．下列四式不能化简为AD的是（ ）

A．（ AB+CD）+ BC B．（ AD+MB）+（ BC+CM） C． MB+AD-BM

D． OC-OA+CD

11．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（ ）

A． a与b的长度必相等 B． a∥b C．a与b一定不相等 D． a是b的相反向量 12．如果两非零向量a、b满足：｜a｜＞｜b｜,那么a与b反向,则（ ） A．｜a+b｜=｜a｜-｜b｜ C．｜a-b｜=｜b｜-｜a｜

二、判断题

1．向量AB与BA是两平行向量．（ ）

2．若a是单位向量，b也是单位向量，则a=b．（ ）

3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（ ）

4．与任一向量都平行的向量为0向量．（ ）

5．若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形．（ ）

7．设O是正三角形ABC的中心，则向量AB的长度是OA长度的（ ） 3倍．

B．｜a-b｜=｜a｜-｜b｜ D．｜a+b｜=｜a｜+｜b｜

9．在坐标平面上，以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的`轨迹是单位圆．（ ）

10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ）

三、填空题

1．已知四边形ABCD中，AB=

1DC,且｜AD｜=｜BC｜,则四边形ABCD的形状是 ． 22．已知AB=a,BC=b, CD=c,DE=d,AE=e,则a+b+c+d= ． 3．已知向量a、b的模分别为3，4，则｜a-b｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA｜=4,｜OB｜=8,∠AOB=60°,则｜AB｜= ． 5． a=“向东走4km”,b=“向南走3km”,则｜a+b｜= ． 四、解答题

1.作图。已知 求作（1）a?b（利用向量加法的三角形法则和

四边形法则）

（2）ab

b a

2．已知△ABC，试用几何法作出向量：BA+BC，CA+CB． 3．已知OA=a,OB=b,且｜a｜=｜b｜=4,∠AOB=60°, ①求｜a+b｜，｜a-b｜

②求a+b与a的夹角，a-b与a的夹角．

向量练习题（2）

《平面向量》练习题及答案

向量是近代数学中重要和基本的概念，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，又有着广泛的实际应用，具有很高的教育价值。接下来小编为你带来《平面向量》练习题及答案,希望对你有帮助。

一、教材分析

全章地位：平面向量基本定理是共线向量基本定理的一个推广，将来还可以推广到空间向量，得到空间向量基本定理。这三个定理可以看成是在一定范围内向量分解的唯一性定理。

应用空间：平面向量基本定理蕴涵了一种十分重要的数学思想——转化思想，因此，有着十分广阔的应用空间。

二、教学目标

【知识与能力】(1)了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示一向量，掌握两向量夹角的定义及两向量垂直的概念，会初步求解简单两向量的夹角;(2)培养学生作图、判断、求解的基本能力。

【过程与方法】(1)经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法;(2)让学生体会用基底表示平面内一向量的方法、 求两简单向量的夹角的方法。

【情感态度与价值观】培养学生动手操作、观察判断的能力，体会数形结合思想。

三、教学重点

平面向量基本定理及其意义， 两向量夹角的'简单计算。

四、教学难点

平面向量基本定理的探究，向量夹角的判断。

五、学情分析

前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

六、学法指导

教师平等地参与学生的自主探究活动，通过启发、引导、激励来体现教师的主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，引导学生全员、全过程参与，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。

七、教学基本流程

定理探究

↓

形成定理

↓

定理思考与应用

↓

定义形成与应用

八、教学情境设计

向量练习题（3）

平面向量数量积练习题

平面向量数量积教学要求学生掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示，分享了平面向量数量积的练习题，欢迎借鉴！

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，则实数m的值为(  )

A．－2          B．2

C．－12       D．不存在

解析：由题设知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)。

∴a＋b＝(m＋2，m－4)。

a－b＝(m，－m－2)．

∵(a＋b)⊥(a－b)。

∴(a＋b)(a－b)＝0。

∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0。

解之得m＝－2.

故应选A.

答案：A

2．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线，则必有(  )

A．a⊥b    B．a∥b

C．|a|＝|b|    D．|a|≠|b|

解析：f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的图象是一条直线。

即f(x)的表达式是关于x的一次函数．

而(xa＋b)(a－xb)＝x|a|2－x2ab＋ab－x|b|2。

故ab＝0，又∵a，b为非零向量。

∴a⊥b，故应选A.

答案：A

3．向量a＝(－1,1)，且a与a＋2b方向相同，则ab的范围是(  )

A．(1，＋∞)  B．(－1,1)

C．(－1，＋∞)  D．(－∞，1)

解析：∵a与a＋2b同向。

∴可设a＋2b＝λa(λ>0)。

则有b＝λ－12a，又∵|a|＝12＋12＝2。

∴ab＝λ－12|a|2＝λ－12×2＝λ－1>－1。

∴ab的范围是(－1，＋∞)，故应选C.

答案：C

4．已知△ABC中，  ab<0，S△ABC＝154。

|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于(  )

A．30°    B．－150°

C．150°    D．30°或150°

解析：∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154。

∴sin∠BAC＝12。

又ab<0，∴∠BAC为钝角。

∴∠BAC＝150°.

答案：C

5．(2010辽宁)平面上O，A，B三点不共线，设 则△OAB的面积等于(  )

A.|a|2|b|2－(ab)2

B.|a|2|b|2＋(ab)2

C.12|a|2|b|2－(ab)2

D.12|a|2|b|2＋(ab)2

解析：cos〈a，b〉＝ab|a||b|。

sin∠AOB＝1－cos2〈a，b〉＝1－ab|a||b|2。

所以S△OAB＝12|a||b|

sin∠AOB＝12|a|2|b|2－(ab)2.

答案：C

6．(2010湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 等于(  )

A．－16    B．－8

C．8     D．16

解析：解法一：因为cosA＝ACAB。

故 cosA＝AC2＝16，故选D.

解法二： 在 上的投影为| |cosA＝| |。

故 cosA＝AC2＝16，故选D.

答案：D

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．(2010江西)已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．

解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.

答案：1

8．(2010浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

解析：由于α⊥(α－2β)，所以α(α－2β)＝|α|2－2αβ＝0，故2αβ＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4αβ＋|β|2＝4＋2＋4＝10.

答案：10

9．已知|a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________.

解析：由λb－a与a垂直，(λb－a)a＝λab－a2＝0，所以λ＝2.

答案：2

10．在△ABC中，O为中线AM上的'一个动点，若AM＝2，则 )的最小值是________．

解析：令| |＝x且0≤x≤2，则| |＝2－x.

＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.

∴ 的最小值为－2.

答案：－2

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．

解：由|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为45°。

则ab＝|a||b|cos45°＝2×1×22＝1.

而(2a＋λb)(λa－3b)＝2λa2－6ab＋λ2ab－3λb2＝λ2＋λ－6.

设向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角为θ。

则cosθ＝(2a＋λb)(λa－3b)|2a＋λb||λa－3b|>0，且cosθ≠1。

∴(2a＋λb)(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0。

∴λ>2或λ<－3.

假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)。

∴2＝kλ，λ＝－3k，解得k2＝－23.

故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．

所以当λ>2或λ<－3时，向量(2a＋λb)与(λa－3b)的夹角是锐角．

评析：由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝ab|a||b|去判断θ分五种情况：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．

12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝－12，32.

(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；

(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．

解：(1)证明：因为(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，故a＋b与a－b垂直．

(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，两边平方得3|a|2＋23ab＋|b|2＝|a|2－23ab＋3|b|2。

所以2(|a|2－|b|2)＋43ab＝0，而|a|＝|b|，所以ab＝0，则－12cosα＋32sinα＝0。

即cos(α＋60°)＝0。

∴α＋60°＝k180°＋90°。

即α＝k180°＋30°，k∈Z。

又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.

13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝cosπ2－θ，sinπ2－θ。

(1)求证：a⊥b；

(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．

解：(1)证明：∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋

sin(－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.

∴a⊥b.

(2)由x⊥y，得xy＝0。

即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0。

∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0。

∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.

又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0。

∴k＝t3＋3t。

∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3

＝t＋122＋114.

故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.