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已知m,n是夹角为60度的两个单位向量,则a=2m+n和b=-3m+n的夹角是多少?

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  • 2007-03-02 09:18:03
      由a=2m+n和b=-3m+n,得a-b=5m,3a+2b=5n
    (a-b)·(3a+2b)=3(a·a)+2(a·b)-3(b·a)-2(b·b)
    =3|a|^2-a·b-2|b|^2=3|a|^2-|a||b|cos-2|b|^2
    又(a-b)·(3a+2b)=5m·5n=25(m·n)=25|m||n|cos60度=25/2
    有3|a|^2-|a||b|cos-2|b|^2=25/2……(1)
    ==> cos=[3|a|^2--2|b|^2-25/2]/(|a||b|)
    ==> cos=[6|a|^2--4|b|^2-25]/(2|a||b|)……(2)
    在a、b、a-b构成的三角形中应用余弦定理,有
    |a-b|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cos
    ==> cos=(|a|^2+|b|^2-|a-b|^2)/(2|a||b|)
    =(|a|^2+|b|^2-25)/(2|a||b|)……(3)
    由(2)(3),有6|a|^2--4|b|^2-25=|a|^2+|b|^2-25
    ==> |a|=|b|
    代入(3),得到 cos=1-25/(2|a|^2)
    因为a=2m+n=2m-(-n),且m,n是夹角为60度的两个单位向量,
    在2m、-n、a构成的三角形中应用余弦定理,有
    |a|^2=|2m|^2+|n|^2-2|2m||-n|cos(180-60)=4+1-4*(-1/2)=7
    所以cos=1-25/14=-11/14 
    ==> a、b的夹角=arccos(-11/14)
    。
      

    1***

    2007-03-02 09:18:03

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