数学难题求教老师们
高考必备44-5 己知方程(x平方—2x+m)(x平方—2x+n)=0的四个根组成一个首项为1/4的等差数列,求|m-n|的值?标准答案是:1/2
方程(x平方—2x+m)(x平方—2x+n)=0 就是(x平方—2x+m)=0;设根为x1,x2, 或者(x平方—2x+n)=0;设根为x3,x4, 由于:x1+x2=2, x3+x4=2, 所以x1+x2+x3+x4=4, 四个根组成一个首项为1/4的等差数列,我们不知道具体排列顺序, 但是我们知道首项为1/4,和S4=4,设公差为d, S4=4*(1/4)+[4*(4-1)/2]*d =4 解得d=1/2, 所以,四项依次是 1/4,1/4+1/2=3/4,1/4+1=5/4,1/4+3/2=7/4, 即:1/4,3/4,5/4,7/4, 由于两根之和是相等的,说明1/4与7/4是一个方程的根, 3/4与5/4是另一个方程的根, 由于最后是求绝对值,不讲究顺序,不妨假设1/4与7/4是前一个方程 的根,3/4与5/4是后一个方程的根,还由根与系数关系得: m=(1/4)(7/4)=7/16, n=(3/4)(5/4)=15/16 所以:|m-n|=|(7/16)-(15/16)|=1/2 。
四个根的和是4,即数列的前4项的和是4,又首项是1/4,所以公差d=1/2。四个根中,1/4与7/4是一个方程的根,3/4与5/4是另一个方程的根,所以m、n分别等于7/16和15/16。|m-n|=1/2。
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