在数列An中，当n大于或等于2时,An-1 - An =nAn*An-1 恒成立．且A1＝1，｛An不等于0｝，求数列An的前n项和Sn. 解：∵A1=1，代入已知有A2=1/3=2/6，∴A3=1/6=2/12，猜An=2/n(n+1) , 证明：当n=2时，显然成立。 设n=k时成立,即Ak= 2/k(k+1) ∴ 2/k(k+1)-AK+1=(K+1)AK+1*2/k(k+1) ∴Ak+1= 2/(k+1)(k+2)=2[(1/(k+1)-1/(k+2)] ∴n>1时猜测成立。 ∴Sn=2(1-1/2+1/2-1/3......+1/n-1/(n+1) )=2(1- 1/(n+1))=2n/(n+1)
解：由已知得：
A(n-1)-An=n*An*A(n-1) (n>=2且n属于自然数)
因为An不等于0，将两边同除以An*A(n-1)，得：
(1/An)-(1/A(n-1))=n (n>=2且n属于自然数)
所以1/A2-1/A1=2；
1/A3-1/A2=3；
1/A4-1/A3=4；
………………
(1/An)-(1/A(n-1))=n (n>=2且n属于自然数)
将上述等式相加，得：
(1/A2-1/A1)+(1/A3-1/A2)+(1/A4-1/A3)+……+(1/An)-(1/A(n-1))
=1/An-1/A1=2+3+4+……+n
因为A1=1,得1/A1=1，所以，
1/An＝1+2+3+4+……+n (n>=2且n属于自然数)
1/An＝n(n+1)/2 (n>=2且n属于自然数)
An=2/[n(n+1)] (n>=2且n属于自然数)
又因为A1=1符合以上通项公式，所以
An=2/[n(n+1)] (n属于自然数)
。
把An*A(n-1）除过去得 1/An-1/A(n-1)=n 1/An=n+1/A(n-1) 因为A1＝1 则可以写出1/A1=1 所以 =+2 =1/A2+3 …… =1/A(n-1)+n 各式相加 1/An=1/A1+1+2+……+n 1/An=1+1+2+……+n 1/An=(2 (通项公式） Sn=1/A1+1/A2+1/A3+……+1/An =[(1^2+1+2)+(2^2+2+2)+……+(n^2+n+2)]/2 =1/12*n(n+1)(2n+1)+n(n+1)/2+n =自己化简 方法是：这道题用的是倒数法 把数列的各项通过某种方式取倒数从而找到一定的规律。
答：1、若a20=40，求d a1、a2……a10是首项为1，公差为1的等差数列，所以a10=10 a10、a11……a20是公差为d的等差数列，a20=a10+(...详情>>
答：详情>>
