已知函数f(x)=a^x
已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1(a>0且a不等于1)(1)求f(x)的定义域和值域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)讨论f(x)的单调性。
已知函数f(x)=a^x-1/a^x+1(a>0且a不等于1) (1)求f(x)的定义域和值域; 因为g(x)=a^x当a>0且a≠1时,其定义域为R,值域为g(x)>0 所以,a^x+1>1 故f(x)的定义域为x∈R 又,f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=[(a^x+1)-2]/(a^x+1) =1-[2/(a^x+1)] 因为a^x+1>1,所以0<1/(a^x+1)<1 所以,0<2/(a^x+1)<2 所以,-2<-2/(a^x+1)<0 所以,-1<f(x)=1-[2/(a^x+1)]<1 即,值域f(x)∈(-1,1) (2)讨论f(x)的奇偶性; f(-x)=[a^(-x)-1]/[a^(-x)+1] =[1-a^x]/[1+a^x]【分子分母同乘以不为零的数a^x】 =-(a^x-1)/(a^x+1) =-f(x) 所以,f(x)为奇函数 (3)讨论f(x)的单调性。
由(2)知,f(x)为奇函数,所以只讨论在x>0时的情况 ①当a>1时,a^x为增函数 令:0<x1<x2 则,f(x1)-f(x2)=[(a^x1-1)/(a^x1+1)]-[(a^x2-1)/(a^x2+1)] =[(a^x1-1)*(a^x2+1)-(a^x2-1)*(a^x1+1)]/[(a^x1+1)*(a^x2+1)] 上述分式的分母一定>0 分子=[a^(x1+x2)-a^x2+a^x1-1]-[a^(x1+x2)-a^x1+a^x2-1] =2(a^x1-a^x2) 因为a^x为增函数,且x1<x2 所以,a^x1<a^x2 所以,f(x1)-f(x2)<0 即,f(x1)<f(x2) 所以,f(x)为增函数 而f(x)为R上的奇函数 所以,在R上,f(x)为增函数 ②当0<a<1时,同理可得f(x)在R上为减函数。
答:已知函数f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)(a>0,且a≠1,). (1)求f(x)的值域 (2)判断f(x)的奇偶性 (3)讨论f(x)的单调性 解 (...详情>>