数学解析几何1
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为（根号3）/2，过点M（-1，0）的直线l与椭圆相交与P、Q两点 1）若直线l的斜率为1，且向量PM=（-3/5）向量QM，求椭圆的方程 2）若1）中的椭圆的右顶点为A，直线l的倾斜角为α，为α为何值时，向量AP与向量AQ的数量积取最大值，并求出这个最大值 请详细解答谢谢 我现在的积分不够，处理问题时回追加30分悬赏
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),因离心率为（根号3）/2，故（a^2-b^2)/a^2=3/4,a^2=4b^2。 (1)l的方程为y=x+1 代入x^2/(4b^2)+y^2/b^2=1 化简得5x^2+8x+4-4b^2=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8/5,x1x2=(4-4b^2)/5。
由向量PM=（-3/5）向量QM得 (-1-x1,-y1)=(-3/5)*(-1-x2,-y2), ∴-1-x1=（-3/5）（-1-x2), ∴5x1+3x2=-8,解得x1=-8/5,x2=0。 ∴b^2=1。所求椭圆方程为x^2/4+y^2=1。
(1) (2)A(2,0)。l的方程为y=(x+1)tanα,(2) 代入(1),化简得 [1+4(tanα)^2]x^2+8x(tanα)^2+4(tanα)^2-4=0,则 x1+x2=-8(tanα)^2/[1+4(tanα)^2], x1x2=[4(tanα)^2-4]/[1+4(tanα)^2]。
由（2），y1y2=(x1+1)(x2+1)(tanα)^2 =(x1x2+x1+x2+1)(tanα)^2, AP·AQ=(x1-2,y1)·(x2-2,y2) =(x1-2)(x2-2)+y1y2 =x1x2*[1+(tanα)^2]+[-2+(tanα)^2](x1+x2)+4+(tanα)^2 ={[4(tanα)^2-4]*[1+(tanα)^2]-8(tanα)^2*[-2+(tanα)^2]}/[1+4(tanα)^2]+4+(tanα)^2 =33(tanα)^2/[1+4(tanα)^2] =33{1/4-1/[4+16(tanα)^2]}, ∴当α=π/2时AP·AQ的最大值为33/4。
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