从自然数到整数，从整数到有理数，再到无理数，到实数都是数域的扩展。
数域的扩展是为了推广我们对数的运算。比如减法需要我们引入负数，而开根需要我们引入无理数。
现在我们设想对-1做开根这个运算，我们假想（imagine）一个数i，这是一个纯虚数（imaginary number），使得i的平方等于-1。
这样我们的数域就由实数域扩展到了复数域（z），我们定义任意一个复数为：
这里x和y都是实数，上式具有明显的几何意义，即我们可以把z表示为xy平面上的一点，或我们可以把z表示为一个二维的向量，这个向量就是一个复向量。
有了复数的定义后，我们很容易得到很多漂亮的数学形式，比如我们可以定义一个指数函数：
等式右侧，我们对指数函数进行了级数展开，我们把这些级数展开的项分别整理为实数的部分和虚数的部分。
这就导致了一个重要的关系：
这意味着复向量有个明确的几何含义，假设单位向量1，最初是在x轴上的，现在我们让这个单位向量围绕原点按逆时针旋转角度θ，这样的操作就可以表示为用e指数函数相乘。
两个连续的e指数函数相乘，意味着连续的转动。
如果我们分别在等式左右两侧展开的话，按照实部与实部相等，虚部与虚部相等的条件，我们将得到三角函数和差化积的公式。
引入虚数后，求解微分方程也更快捷了。
比如：
这样的微分方程，它的解是：
通解是以上两个解的线性叠加：
这在形式上比写成三角函数要简洁方便。
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