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超难几何题

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超难几何题

已知直角三角形ABC,斜边AB=2,三角形内一动点P到三顶点距离之和最小值为
根号7,求两个锐角的大小。

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  • 2006-06-13 10:08:06
      解:注意:/是瞥或分数线
    如图,将三角形APC绕点C顺时针旋转60°,点A落在A/处,点P落在P/处,则∠ACA/=∠PCP/=60°,△APC≌△A/PC/,∴AP=A/P/,且△CPP/为等边三角形,∴CP=PP/,
    动点P到三顶点距离之和=PA+PB+PC= A/P/+ PB+ PP/≥A/B(两点间连线,线段最短)。
       ∴A/B=√7, 过A/作A/D⊥BD交BC的延长线于点D,∠A/CD=180°-∠ACB-∠ACA/=180°-90°-60°=30°,设AC=A/C=x,在Rt△A/CD中,A/D=x/2,CD=√3x/2,在Rt△ABC中, BC=√(AB^2-AC^2)=√(4-x^2),∵在Rt△A/BD中,A/B=√7,A/D=x/2,BD/=BC+CD=√(4-x^2)+√3x/2,∴由勾股定理可知:(x/2)^2+[√(4-x^2)+√3x/2]^2=7, 整理为:x^4-4x^2+3=0,(x^2-3)(x^2-1)=0,∴x=√3,或x=1,∴∠BAC=30°,∠ABC=60°或∠BAC=60°,∠ABC=30° 。
      

    三***

    2006-06-13 10:08:06

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