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2005-12-03 09:20:23

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  课题：圆幂定理及其应用
  教学目标
  1、使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题；
  2、通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法；
  3、从运动的观点来统一认识圆幂定理，对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育。
    
  教学重点与难点
  相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点
  灵活运用圆幂定理解题是难点。
  教学方法：启发式、讨论式、练习式
  媒体选择：多媒体电脑或投影仪、贴图
  教学过程设计
  一、从学生原有的认知结构提出问题(大约10~15分钟)
  1、根据下图(1)、(2)、(3)(三个图合为贴图1)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容。
    
  2、然后提出问题：相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系？
  〖教学思路：提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来认识定理。〗
  (1)如图(4)，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA•PB
  =PC•PD。
    这便是我们学过的相交弦定理，对于这个定理有两个特例：
  一是如图(5)圆内两条弦交于圆心O，则有PA=PB=PC=PD=圆的半径R，虽然，相交弦定理当然成立。
  二是如图(6)当点P逐渐离开圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，此时PB=PD=0，仍然有PA•PB=PC•PD=0，相交弦定理仍然成立。
    (电脑演示三个图形的变化)
  (2)点P继续运动到圆外如图(7)，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA•PB=PC•PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理)。
  (3)在图(7)中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠近，以至于合为一点C，割线PDC变成切线PC。
    这时有PA•PB=PC•PD=PC2，这就是我们学过的切割线定理。如图(8)
  (4)在图(8)中，如果再将割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会变成一条切线PA，这时应有PA2=PC2，可得PA=PC，这就是我们学过的切线长定理。
    如图(9)(电脑演示三个图形的变化过程)
  至此,通过点、线的运动变化,我们发现,相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系。
  3、〖教学思路：通过以下证明(课本P。134B组4题)启发学生理解定理的实质，从而掌握定理间内在联系的理论根据。
    同时也可培养学生勇于探索新知识及分析、总结问题的习惯，激发学生的学习兴趣，树立学生科学的学习态度。〗
  经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图(10)(11)(12)
  通过观察可以得出(设⊙O的半径为R)(三个图合为贴图2)
  在图(10)中，PA•PB=PC•PD=PE•PF=(R-OP)(R+OP)=R2-OP2；
  在图(11)中，PA•PB=PT2=OP2-OT2=OP2-R2；
  在图(12)中，PA•PB=PC•PD=PT2=OP2-R2。
    
  教师指出，由于PA•PB均等于│OP2-R2│，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理。
  二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)(大约15分钟)
  例1  如图(13)(贴图3)，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB=12，AO=15，AD=8，求两圆的半径。
    
  【分析】：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB。求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理可求出AC，于是问题得解。
  (由学生讨论、分析，得出解决)
  例2、如图(14)在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ,求证：AX•AY=BP•BQ(课本P。
    134B组5题)
  【分析】在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的。但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法。
  方法1  在图(15)(贴图4)中，过为A，B分别作小圆的切线AC，BD，切点为C，D，这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2=AX•AY，BD2=BP•BQ。
    再连结CO，AO，DO，BO，易证Rt△AOC≌Rt△BOD，得出AC=BD，所以AX•AY=BP•BQ
  方法2  在图(16)(贴图5)中作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D，这样就出现了相交弦定理的基本图形，于是有AX•XC=EX•XF，BP•PD=FP•PE，易证AX=CY，BP=DQ，EX=FP，所以AX•XC=AX•AY，BP•PD=BP•BQ，EX•XF=FP•PE，所以AX•AY=BP•BQ。
    
  方法3  如图(17)(贴图6)，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形，于是有AX•AY=AE•AF，BP•BQ=BC•BD，易证AE=BC，AF=BD，所以AE•AF=BC•BD，从而AX•AY=BP•BQ
  〖教学思路：通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系。
    同时也向学生渗透了数学中的“化归”思想，以及数学中的“化未知为已知”的数学方法。〗
  三、强化练习(可分组或让两位学生到黑板上完成)(大约10分钟)
  练习1  已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB=BC，如果OA=7，PA=2，求PC的长。
    
  练习2  如图(18)，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N，求证：PN2=NM•NQ。(要注意引导学生发现基本图形) 
  (此两题可用投影打出或看课本P。130练习)
  四、小结(5分钟)
  用投影打出圆幂定理的基本图形(图19)，让学生观察并说出相应的定理。
    
  PC2=PA•PB      PA•PB=PC•PD            PA•PB=PC•PD           
  PT2=PC•PD PS2=PA•PB         PT=PS(PT2=PS2) 
  教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的。
    
  五、布置作业
  课本P。133习题7。4A组13、14题
  思考题：课本P。130。想一想，P。134 B组6题
  六、板书设计
  七、教后记
  课本没有给出“圆幂定理”这一名称，而是以“和圆有关的比例线段”的形式出现的，教学时可根据学生的程度而定。
    圆幂定理十分重要，它是进行几何论证、计算和作图的常用定理，但是应用难度较大，所以在教学时，既要让学生认清定理间的内在联系和本质特征，也应时刻注意启发学生进行思考，培养学生的发散思维能力。
  例题和练习题可根据学生实际选用。
  。

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  f***

  2005-12-03 09:20:23

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2005-11-26 21:28:13

• 弦切角算伐？

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  川***

  2005-11-26 21:28:13

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