我要非常遗憾地指出，这是一个错题，【x→∞】必须改为【x→+∞】。 这种错误从表面上看是很细微的，无关紧要的。但是却是很本质的，【x→∞】时无法考虑极限，因为函数定义域是 x≥1，所以必须改为【x→+∞】。 命题老师太粗心了，也可能是楼主抄题时太粗心了。
但是我们提供解答的人，一定要严严肃肃、认认真真，不能马马虎虎。 lim(x→+∞)[√(x+√x)-√(x-√x)] 【分子有理化】 =lim(x→+∞)[(x+√x)-(x-√x)]/[√(x+√x)+√(x-√x)] =lim(x→+∞)(2√x)/[√(x+√x)+√(x-√x)] =lim(x→+∞)(2√x)/【(√x){√[1+(1/√x)]+√[1-(1/√x)]}】 =lim(x→+∞)2/[√(1+0)+√(1-0)] =1 。
【●○●】趁楼主还没有结题，在按照我的意见进行修改题目的前提下，再给你介绍一种在“x→+∞”前提下，非常典型的方法【倒数置换法】，因为这里，本质上是“√x→+∞”，所以令√x=1/t，即 x=1/t^2，则 。
lim(x→∞)√(x+√x)-√(x-√x)
原式=lim(x→∞)[√(x+√x)-√(x-√x)]*[√(x+√x)+√(x-√x)]/[√(x+√x)+√(x-√x)]【分子分母同乘以不为零的常数】
=lim(x→∞)[(x+√x)-(x-√x)]/[√(x+√x)+√(x-√x)]
=lim(x→∞)[2√x]/[√(x+√x)+√(x-√x)]
=lim(x→∞)2/{√[1+(1/√x)]+√[1-(1/√x)]}【分子分母同除以√x】
=lim(x→∞)2/[√(1+0)+√(1-0)]
=2/2
=1
答：x→∞时， [1+tan(1/x)]^x →(1+1/x)^x →e.详情>>
