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对边之和相等的四边形必有内切圆

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  • 2018-02-19 12:18:13
    求证:对边之和相等的四边形必有内切圆.
    己知 在四边形ABCD中有 AB+CD=BC+DA,求证 四边形ABCD有内切圆.
    证明  不妨设AB>AD,则BC>CD。
    因为 AB+CD=BC+AD,所以 AB-AD=BC-CD。
    在AB上取点M,使AM=AD,在BC上取点N,使CN=CD,故BM=BN。即ΔADM,ΔCDN,ΔBMN都是等腰三角形。
    故∠DAB,∠ABC,∠BCD三角的平分线必是ΔDMN三边的垂直平分线,它们交于一点O,显然O点到四边形ABCD的四边的距离相等,所以,必存在以O为中心的一圆内切于四边形ABCD。证毕.
    这个证法是典型构造法。

    m***

    2018-02-19 12:18:13

其他答案

    2018-02-19 13:18:13
  • 你好!
    证明是吧,画个图给你看看,你就知道怎么叙述了:
    条件是AB+CD=AD+CB
    假设有外切圆,分析情况是否成立
    圆同一点的外切边相等,因此
    AM=AR
    BM=BN
    CP=CN
    DP=DR
    AB+CD=AM+MB+CP+PD
         =AR+BN+CN+DR
         =AD+BC
    因此得证。
    

    我***

    2018-02-19 13:18:13

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