已知正四棱锥相邻两侧面的夹角是120o,它的底面边长为a,求棱锥的高、斜高和侧棱长.
如题!
已知正四棱锥相邻两侧面的夹角是120o,它的底面边长为a,求棱锥的高、斜高和侧棱长。 如图 正四棱锥P-ABCD的底面边长为a,两个相邻侧面之间的夹角为120°。
求棱锥的高h,斜高h',侧棱长 连接AC、BD,两者相交于点O,连接PO,则PO⊥面ABCD (这是因为PA=PB=PC=PD,则点P在底面ABCD的投影为ABCD的中心) 过点C作PD的垂线,垂足为E,连接AE 则,AE⊥PD(这是因为Rt△CED≌Rt△AED) 所以,∠AEC即为侧面PDC、PDA所成的角 所以,∠AEC=120° 设CE=AE=x 那么,在等腰△EAC中,由余弦定理有: CE^2+AE^2-2CE*AE*cos120°=AC^2=2a^2 所以:x^2+x^2-2x^2*(-1/2)=2a^2 即:3x^2=2a^2 所以:x=√6a/3 设棱锥的侧棱长为y,即PA=PB=PC=PD=y 那么,侧面的面积S△PCD=(1/2)PD*CE=(1/2)*y*(√6a/3) 过点P作CB的垂线,垂足为F,连接OF 因为PB=PC 所以,点F为BC中点 而点O为AC中点 所以,OF//AB 所以,OF⊥BC 那么,侧面PBC的面积S=(1/2)*BC*PF=(1/2)*a*PF 则:(1/2)*a*PF=(1/2)*y*(√6a/3) 所以:PF=(√6/3)y…………………………………………(1) 而,在Rt△PFC中,由勾股定理有:PC^2=PF^2+CF^2 即:y^2=(√6y/3)^2+(a/2)^2 所以:y^2=(2/3)y^2+(a^2/4) 所以,y^2=(3/4)a^2 则,y=√3a/2 代入到(1),就有:PF=(√6/3)y=(√6/3)*(√3/2)a=(√2/2)a 而,在Rt△POF中,由勾股定理有:PF^2=PO^2+OF^2 即:[(√2/2)a]^2=PO^2+(a/2)^2 所以:PO^2=(a^2/2)-(a^2/4)=a^2/4 所以,PO=a/2 综上,在正四棱柱P-ABCD中: 棱锥的高PO=a/2 棱锥的斜高PF=(√2/2)a 棱锥的侧棱长PA=PB=PC=PD=(√3/2)a。
问:高和斜高已知正三棱锥和正四棱锥的底面边长为a,侧棱长为l.求该正三棱锥和正四棱锥的高和斜高
答:正三棱锥和正四棱锥侧面都是等腰三角形,腰L,底边长为a 斜高都等于√[L² -(a/2)²] 正三棱锥顶点在底面的射影为正三角形的中心,它到...详情>>
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答:面对非常多的作业,如果不会,肯定是慢的。多特儿童专注力老师提醒家长,首先要了解孩子对于知识的掌握程度,然后有针对性的给予辅导,只要学会知识后,写作业的效率自然而...详情>>
答:确定研究问题的关键之处在于关键术语的界定和使用。历史研究是寻找过去的事实,并在这个信息基础上描述、分析和解释过去。所以,关键术语的逻辑一致性就显得十分重要。我们...详情>>
答:总分60分。详情>>