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数学,急

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数学,急

周长为根号二+1的直角三角形面积的最大值为多少?

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    2007-01-14 23:08:51
  •   设三角形的三条边长是a、b、c。其中c=√(a^2+b^2)。所以sinA=a/c,sinB=cosA=b/c
    --->a=csinA,b+ccosA
    已知a+b+c=1+√2
    --->c(1+sinA+cosA)=1+√2
    --->c=(1+√2)/(1+sinA+cosA)
    S=ab/2=(c^2/2)sinAcosA
    =[(1+√2)]^2*sinAcosA/(1+sinA+cosA)^2
    令sinA+cosA=t--->1+2sinAcosA=t^2--->sinAcosA=(t^2-1)/2。
      因此 sinAcosA/(1+sinA+cosA)^2=[(t^2-1)/2]/(1+t)^2 =(t-1)/[2(t+1)]=1/2-1/(t+1) 因为t=sinA+cosA(A-1/20<1/2-1/(t+1)=<(3-2√2)/2 所以S有最大值(1+√2)^2*(3-2√2)/2=(3+2√2)(3-2√2)/2=1/2。
      

    y***

    2007-01-14 23:08:51

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