双曲线问题
F为双曲线C：X2/A2-Y2/B2=1（A>0,B>0）的右焦点，P为双曲线C右支上的一点，且位于X轴上方，M为左准线上的一点，O为原点坐标，已知四边形OFPM为平行四边形，|PF|=a|OF| （1）写出双曲线C的离心率e与a的关系 （2）当a=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于M，N点，若|MN|=12，求此时的双曲线方程？
(1) P（x',y'）M（-A/e，y'），F（C，0）, OM∥PF，y'/（-A/e)=y'/(x'-C),∴c'=(Ce-A)/e…①,|PF |^=a^|OF |^,(x'-C)^+y'=(aC)^…②, 把①代入②得y'=(a^e^C^-A^)/e^…③ ∵(Bx')^-(Ay)^=(AB)^,即 (e^-1)(x')^-(y')^=C^-A^…④, 把①,③代入④化简得a^(e)^4+e^-2=0,这就是双曲线C的离心率e与a的关系。
(2) a=1时,|PF|=|OF|=C,∴P(C,C)在双曲线C：X^/A^-Y^/B^=1的右支上, C^/A^-C^/B^=1,B^=A^e,于是e^-e-1=0…(*),e=(√5 +1)/2, PF的方程y=x-C,把它代入双曲线方程ex^-y^-A^e=0得,(e-1)x^+2Aex-A^e(e+1)=0,M(x1,y1),N(x2,y2),MN的斜率k=1,由(1+k)[(x1+x2)^-4x1x2]=|MN|^,得A^=18(1-e^)^/[e(e^+e-1)]=18(-e)^/[e(2e)]=9,B^=A^e= 9(√5+1)/2,∴双曲线方程为x^/9-2y^/9(√5+1)=1。
