反函数:设e^x=z (e^x>0)
y=(z-1/z)/2
2y=z-1/z
2yz=z^2-1
z^2-2yz-1=0
z^2-2yz+y^2-y^2-1=0
(z-y)^2=y^2+1 (e^x>（e^x-e^-x）/2,即z>y)
z-y=√y^2+1 (根号里是y^2+1,下同)
z=y+√y^2+1
即e^x=y+√y^2+1
x=ln(y+√y^2+1)
x,y互换,即反函数为
y=ln(x+√x^2+1)
值域:原函数的值域就是反函数y=ln(x+√x^2+1)的定义域
即 x+√x^2+1>0
√x^2+1>-x ①
(1)当xx^2
1>0
即在x0
成立
(3)当x>0时,由①得
x^2+1>x^2
1>0
即在x>0情况下,不论取何值均成立
综合之,x可取任意实数
故原函数值域为R
反函数的值域就是原函数的定义域
e^x中x可取任何值
e^(-x)=1/e^x,故e^x≠0即x可取任何值
故反函数值域为R
。
y=[e^x-e^(-x)]/2 2y=e^x-1/e^x (e^x)^-2ye^x-1=0 e^x=y+√(y^+1)（e^x=y-√(y^+1)为负舍去） x=ln[y+√(y^+1)] 交换x，y ∴原函数的反函数为y=ln[x+√(x^+1)] 原函数的定义域为R,值域y≥2/2=1 反函数的定义域为x≥1，值域为R
y=（e^x-e^-x）/2
2ye^x=e^2x-1
e^2x-2ye^x-1=0
(e^x-y)^2=y^2+1
e^x=√(y^2+1)+y
x=ln{√(y^2+1)+y}
反函数 y=ln{√(x^2+1)+x}
反函数值域就是原函数的定义域
故反函数值域为R
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