数列的问题2
设数列的首项，a1=t, 前n项和为Sn，满足5Sn-3Sn-1=3(n>=2,n属于正整数)
中否存在常数t，使得数列{an}为等比数列，若存在，求出t值，若不存在请说明理由。
解： Sn=an+S(n-1) 所以5Sn-3S(n-1) =5(an+S(n-1))-3S(n-1) =5an+2S(n-1) =3 所以an=(3-2S(n-1))/5 所以q=an/a(n-1) =(3-2S(n-1))/(5a(n-1)) 取n=2得到q=(3-2t)/(5t) 3-2t=5tq 取n=3得到q=(3-2(t+tq))/(5tq) =(3-2t-2tq)/(5tq) =(5tq-2tq)/(5tq) =3/5 所以3-2t=5tq=3t 所以t=3/5 所以Sn=3/5*(1-(3/5)^n)/(1-3/5) =3/2-3/2*(3/5)^n S(n-1) =3/2-3/2*(3/5)^(n-1) 所以5Sn-3S(n-1) =15/2-15/2*(3/5)^n-9/2+9/2*(3/5)^(n-1) =3-9/2*5/3*(3/5)^n+9/2*(3/5)^(n-1) =3-9/2*(3/5)^(n-1)+9/2*(3/5)^(n-1) =3 所以t=3/5就是所求。
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5Sn-3S(n-1)=3。。。。。。(1) --->5S(n-1)-3S(n-2)=3。。。。。。
(2) (1)-(2):5(Sn-S(n-1))-3(S(n-1)-S(n-2)=0 --->5an-3a(n-1)=0 --->an/a(n-1)=3/5 这就是说，如果此数列是等比数列，它的公比一定是q=3/5 所以an=a1*q^(n-1)=t(3/5)^(n-1) --->Sn=t[1-(3/5)^n]/(2/5); S(n-1)=t[1-(3/5)^(n-1)]/(2/5) 代入5Sn-3S(n-1)=3，得到25t[1-(3/5)^2]/2-15t[1-(3/5)^(n-1)]/2=3 --->t=6/{25-25*(3/5)^n-15+15(3/5)^(n-1)] =6/[10-(3/5)^(n-1)(25*3/5-15] =6/10=3/5 --->an=(3/5)^n (n>=1) 因此存在t=3/5使得数列成为等比数列。
设存在常数t，使数列{an}为等比数列，公比为q。
则，Sn = t*(q^n - 1)/(q-1)，S(n-1)=t*[q^(n-1)- 1]/(q-1)
由5Sn-3Sn-1=3，得：5*[t*(q^n - 1)/(q-1)] - 3*{t*[q^(n-1)- 1]/(q-1)} = 3
t = 3*(q-1)/[(5q-3)q^(n-1) - 2]
显然，若t为常数，则：5q-3 = 0，q = 3/5
此时，t = 3/5
因此，存在常数t=3/5，满足条件。
答：(1)∵3t*Sn-(2t+3)S(n-1)=3t,3t*[S(n-1)+an]-(2t+3)S(n-1)=3t, ∴(t-3)S(n-1)+3tan=3t…①...详情>>
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