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设a>0,函数f:(0,+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y有f(x)f(y)+f(a/x)f(a/y)=2f(xy),求证:f(x)为常数。

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  • 2013-04-12 13:51:44
    证明:条件式中令x=y=1,得
    [f(1)]^2+[f(a)]^2=2f(1)
    →[f(1)-1]^2=0,
    ∴f(1)=1.
    条件式中令y=1,得
    f(x)f(1)+f(a/x)f(a)=2f(x)
    →f(x)=f(a/x)(x>0)……①
    条件式中令y=a/x,得
    f(x)f(a/x)+f(a/x)f(x)=2f(a)
    →f(x)f(a/x)=1……②.
    由①、②得,[f(x)]=1,x>0.
    条件式中令x=y=√t,得
    [f(√t)]^2+[f(a/√t)]^2=2f(t),
    ∴f(t)>0.
    故f(x)=1,x>0.
    从而命题得证。

    柳***

    2013-04-12 13:51:44

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