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试用向量证明三角形的三条高相交于一点

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试用向量证明三角形的三条高相交于一点

AD ,BE,CF是△ABC的三条高,求证:AD,BE,CF相交于一点.

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  • 2012-04-17 20:25:23
    不失一般性,设三角形中角A最大。 
    以BC为y轴,DA为x轴建立直角坐标系,显然B、C位于x轴两侧。 
    设A(a,0), B(0,b), C(0,c) 
    设AB边上高CF交x轴于点H(h,0) 
    则向量CA=(a,-c), 向量BH=(h,-b) 
    CA⊥BH, 所以CA*BH=ah+bc=0, h=-bc/a 
    又,向量BA=(a,-b), 向量CH=(-bc/a,-c) 
    BA*CH=a(-bc/a)+(-b)(-c)=0 
    BA⊥CH,CF与CH重合 
    所以三角形ABC三条边上高所在直线交于点H

    B***

    2012-04-17 20:25:23

其他答案

    2012-04-16 18:37:11
  • 设AD∩BE于O,连结CO并延长交直线AB于F`,只需求证:CF`垂直于AB。
    由垂直得:向量AO*向量BC=0,向量BO*向量AC=0
    那么,向量CO*向量AB=(向量CA+向量AO)*向量AB=-向量AC*向量AB+向量AO*(向量AC-向量BC)=向量AO*向量AC-向量AB*向量AC-向量BO*向量AC=(向量AO-向量AB)*向量AC+O=向量BO*向量AC=0,............

    不***

    2012-04-16 18:37:11

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