已知在直线坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-√3，0），且在顶点为D（2，0）
设点A为（1已知在直线坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点设点A为（1，左焦点为F（-√3，0），且在顶点为D（2，0），设点A为（1，1/2） 1求该椭圆的标准方程 2若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程 3过原点o的直线交椭圆于点B，C，求三角形ABC面积的最大值
已知在直线坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-√3，0），且在顶点为D（2，0），设点A为（1，1/2） 1求该椭圆的标准方程 椭圆存在左右焦点，且中心在原点，其标准方程可以设为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0） 已知顶点D(2,0)，则：a=2 又，左焦点为F(-√3,0)，则：c=√3 所以在椭圆中，b^2=a^2-c^2=4-3=1 则椭圆的标准方程为：(x^2/4)+(y^2/1)=1 2若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程 由前面知椭圆方程为(x^2/4)+y^2=1 点P为其上一点，那么不妨设为：P(2cosθ,sinθ) 已知点A(1,1/2) 则PA中点的横坐标为：x=(2cosθ+1)/2 ===> 2cosθ+1=2x ===> cosθ=(2x-1)/2 PA中点的纵坐标为：y=(sinθ+1/2)/2 ===> sinθ=2y-(1/2) 所以：sin^2 θ+cos^2 θ=[2y-(1/2)]^2+[(2x-1)/2]^2=1 3过原点o的直线交椭圆于点B，C，求三角形ABC面积的最大值 ①当过原点O的直线斜率不存在时（即y轴），此时直线与椭圆的交点就是椭圆的上下顶点(0,1)、(0,-1) 则，BC=1-(-1)=2 那么，S△ABC=(1/2)*BC*|Xa|【Xa为A点横坐标】 =(1/2)*2*1 1 ②当过原点0的直线斜率存在时，不妨设其为y=kx 联立直线与椭圆方程有：x^2/4+(kx)^2=1 ===> x^2+4k^2x^2-4=0 ===> (4k^2+1)x^2-4=0 所以：x1+x2=0，x1*x2=-4/(4k^2+1) 则：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=0-4*[-4/(4k^2+1)]=16/(4k^2+1) 又，y1=kx1，y2=kx2 所以，(y1-y2)^2=(kx1-kx2)^2=k^2*(x1-x2)^2 那么，BC=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2] =√[(x1-x2)^2+k^2*(x1-x2)^2] =√[(k^2+1)*(x1-x2)^2] =√(k^2+1)*4/√(4k^2+1) 又，点A(1,1/2)到直线kx-y=0的距离（即BC边上的高）是 d=|k-(1/2)|/√(k^2+1) 所以，S△ABC=(1/2)BC*d =(1/2)*[4√(k^2+1)/√(4k^2+1)]*[|k-(1/2)|/√(k^2+1)] =2|k-(1/2)|/√(4k^2+1) =|2k-1|/√(4k^2+1) 则当k=0时（此时直线与椭圆焦点为左右顶点），S=1 且，S^2=(2k-1)^2/(4k^2+1) =(4k^2+1-4k)/(4k^2+1) =1-4*[k/(4k^2+1)] =1+4*[(-k)/(4k^2+1)]………………………………………………（1） 上式中：当k≠0时，(-k)/(4k^2+1)=1/[(-4k)+(-1/k)] 由椭圆和直线的对称性，因为点A位于第一象限，那么当k＜0时点A到直线的距离较大一些 不妨设k＜0，那么-k＞0 那么，(-4k)+(-1/k)≥2√[(-4k)*(-1/k)]=2*2=4 【当且仅当-4k=-1/k，即k^2=1/4，即k=-1/2时取等号】 那么，(-k)/(4k^2+1)=1/[(-4k)+(-1/k)]≤1/4 代入(1)就有：S^2≤1+4*(1/4)=2 则，S≤√2 综上，△ABC的面积最大值为√2。
答：解：根据已知知道椭圆方程为： x＾/a＾+y＾/b＾=1 c=√3 b=2 a=√7 （1）：x＾/7+y＾/4=1 （2）：设P（xp，yp）...详情>>
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