在半径为R圆O中，两条弦AC与BD，且AC⊥BD垂足为P。 求证:AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=4R^2。 证法（一）连AO且延长交圆O另一端于E，连CE。则EC⊥AC，故CE∥CD，AE=2R。 所以得：CE=︱BM-DM︱。
(1) 由圆相交弦定理得:AP*CP=BP*DP。 (2) 由勾股定理得:AE^2=AC^2+CE^2=(AP+CP)^2+(BP-CP)^2 =AP^2+BP^2+CP^2+DP^2+2AP*CP-2BP*DP = AP^2+BP^2+CP^2+DP^2。
故得: AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=4R^2。 证法(二) 因为弦AC垂直于弦BD于P，所以 DA^2=AP^2+DP^2; (1) AB^2=BP^2+AP^2; (2) BC^2=BP^2+CP^2; (3) CD^2=CP^2+DP^2。
(4) 上述四式相加得: DA^2+AB^2+BC^2+CD^2=2(AP^2+BP^2+CP^2+DP^2) (5) 由正弦定理得: DA=2R*sinx, x=∠ACD。 AB=2R*siny, y=∠ADB。 BC=2R*sinz, z=∠BDC。
CD=2R*sinw, w=∠CAD。 注意x+z=90°, y+w=90° 所以 DA^2+AB^2+BC^2+CD^2 =4R^2*[(sinx)^2+(cosx)^2+(siny)^2+(cosy)^2]=8R^2 故得:AD^2+BC^2+DB^2+CA^2=8R^2 (6) 因此 AP^2+BP^2+CP^2+DP^2=4R^2。
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