将半径为r的四个圆放入三边长15,14,13的三角形ABC中,其中圆K与AB,AC相切,圆M与BC,BA相切,圆N与CA,CB相切,圆Q与圆K,圆M,圆N外切。求r。
  
如图
不妨设△ABC的边AB=15，AC=14，BC=13
分别过圆心K、M、N作边AB、BC、AC的垂线，则垂线段长均为圆半径r
且设过A点与圆K相切的两个切线段长为x，过B点与圆M相切的两个切线段长为y，过C点与圆N相切的两个切线段长为z
因为KM//AB，KN//AC，MN//BC
所以，△KMN∽△ABC
不妨设它们的相似比为t，则：
KM=15t，KN=14t，MN=13t
则有：
x+y+15t=15
x+z+14t=14
y+z+13t=13
由上述方程组可以得到：
x=8(1-t)
y=7(1-t)
z=6(1-t)
在△ABC中由余弦定理有：cosA=(15^2+14^2-13^2)/(2*15*14)
=(225+196-169)/(2*15*14)=252/(2*15*14)
=3/5
所以，sinA=4/5
那么，△ABC的面积S=(1/2)*AB*AC*sinA=(1/2)*15*14*(4/5)=84
由前面知，△KMN∽△ABC，相似比为t
所以，S△KMN=84t^2
而，S△ABC=S△KMN+S图中空白部分=84t^2+[2*(1/2)xr+2*(1/2)yr+2*(1/2)zr+15tr+14tr+13tr]=84t^2+(x+y+z+42t)r
所以：84(1-t^2)=(x+y+z+42t)r
将x、y、z代入上式就有：
84(1-t^2)=[8(1-t)+7(1-t)+6(1-t)+42t]r
===> 84(1-t^2)=(21-21t+42t)r
===> 84(1+t)(1-t)=21(1+t)r
===> 4(1-t)=r………………………………………………（1）
因为圆Q与圆K、M、N外切
所以，△KMN的三个顶点K、M、N到点Q的距离均为2r
也就是说，点K、M、N在以Q为圆心，半径R=2r的圆上（图中红色大圆）
由前面知，△KMN∽△ABC
所以，∠MKN=∠BAC
所以，sin∠MKN=sin∠BAC=4/5
所以，在△KMN中由正弦定理有：MN/sin∠MKN=2R
即：13t/(4/5)=2*2r=4r
所以：t=16r/65………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：
r=260/129。