一道 数列综合题
已知点Pn(An,Bn)满足An+1=An*Bn+1,Bn=Bn+1(1-An^2),n∈N,且已知点P0(1/3,2/3)
（1）求过点P0，P1 的直线l的方程
（2）求点P2的坐标，判断点Pn(n≥2)与直线l的位置关系并加以证明
（3）O为坐标原点，OPn-1Pn的面积为Sn，求lim(S1+S2+S3 ┉ +Sn) n→∞
请写出详细的解题过程
(1) ∵ An+1=An*Bn+1,Bn=Bn+1(1-An^2), A0=1/3,B0=2/3,∴ A1=A0·B1=B1/3,B0=B1(1-A0^),∴ A1=1/4,B1=3/4, P1(1/4,3/4),由两点式得直线l的方程为x+y=1 (2) 仿上可得P2(1/5,4/5),猜想点Pn(n≥2)在直线l上。
证明如下: i) n=2时, 1/5+4/5=1,点P2在直线l上 ii)假设n=k时,点Pk(Ak,Bk)=(Xk,Yk)在直线l上,且Xk+Yk=1,仿上得A(k+1)=Ak/(1+Ak), B(k+1)=1/(1+Ak),∴ 点P(k+1)的坐标为X(k+1)=Xk/(1+Xk),Y(k+1)=1/(1+Xk), ∵ X(k+1)+Y(k+1)=(1+Xk)/(1+Xk)=1, ∴ n=k+1时,点P(k+1)在直线l上猜想成立。
∴ 对一切n≥2,在Pn直线l上。 (3) 点O到直线l的距离d=1/√2,线段|P(n-1)Pn|^=[An-A(n-1)]^+[Bn-B(n-1)]^=2[An-A(n-1)]^, ∴ |P(n-1)Pn|=√2[An-A(n-1)]。
Sn=(1/2)d×|P(n-1)Pn|=[A(n-1)-An]/2=[X(n-1)-Xn]/2,X0-X1=1/3-1/4,X1-X2=1/4-1/5,…,X(n-1)-Xn=1/(n+3)-1/(n+4), ∴ S1+S2+…+Sn=(1/2)[(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+…+1/(n+3)-1/(n+4)]=(1/2)[1/3-1/(n+4)], ∴ n→∞时,limSn=1/6。
答：(1):已知a1=2,点（an,a(n+1)）在函数f(x)=x的平方+2x的图像上, y=x^2+2x==>a(n+1)=an^2+2an ==>a(n+1)...详情>>
答：你是不是要说一个点关于1/2/3/4角平分线对称的点怎么求 拜托 问问题要表达清楚自己的意思 你连意思都说不清 怎么帮你解呀详情>>
