如何证明N边形的外角和是360

如何证明N边形的外角和是360

初步概念与定义

首先，我们需要了解什么是N边形以及什么是外角。在几何中，N边形指的是有N条边的多边形，其中N为正整数。而外角则是指由多边形的一条边向外作的角，一个顶点处可以有多个外角。

两种证明方法的介绍

接下来，我们将介绍两种证明N边形外角和为360的方法。第一种是通过归纳法证明，第二种是通过角度和公式证明。

归纳法证明

归纳法是一种数学证明方法，通过证明某一基准情况成立，再证明当基准情况成立时，下一级问题也能成立，从而得出总体结论。这种方法对于证明N边形外角和为360尤为适用。

首先，我们考虑N=3的情况，即三角形。在三角形中，每个角都有一个对应的外角。根据三角形外角和定理，三角形的外角和为360度。

接着，我们假设当N=k时，N边形的外角和为360度。现在，我们来证明当N=k+1时，N边形的外角和也为360度。

考虑一下N=k+1的情况。我们可以在N边形内取出一个N-1边形。通过假设，这个N-1边形的外角和为360度。然后，我们取出一个边与这个N-1边形共边，构成一个等腰梯形。由于等腰梯形的两个底角相等，那么这个梯形的另外一个角一定等于对应的外角。

如图所示，在图中的N边形中，我们取出一个N-1边形，并且与它共边的边AB。通过归纳假设，N-1边形的外角和为360度。然后，我们将边AB延长到点C，与另一条边DE的延长线交于点F。

由于ABCD构成等腰梯形，所以∠ABC=∠ADC。又因为ABCF是四边形，所以∠AFB+∠ACB=180度。同理，因为EDCF也是四边形，所以∠DFE+∠DEC=180度。同时，由于AD与AB共线，所以∠ADC+∠BDC=180度。因此，我们可以得出：

∠BDC=∠AFB+∠DFE

又因为∠AFB=∠ACB，∠DFE=∠DEC，所以

∠BDC=2∠ACB+2∠DEC

等式两边同时除以2，就可以得到

∠ACB+∠DEC+∠BDC/2=180度

因为N=k+1时的多边形是由N-1边形与一条新加入的边构成的，所以新加入的这个点的外角恰好等于梯形中对应的角。因此，我们可以将等式右侧的∠BDC/2看作是新加入的点的外角。从而，我们可以得到：

外角和=外角和(N-1) + 新外角 = 360度 + 新外角 = 360度

因此，根据归纳法原理，当N=k+1时，N边形的外角和也为360度。

角度和公式证明

另外一种证明方法是应用角度和公式证明。这个公式指的是一个多边形n个内角和为(2n-4)×180度，由此反推而来，n个外角和就是360度。

首先我们可以求一下多边形的内角和。我们将N边形中的每个角分别连接起来，可以得到

内角和=(N-2)×180度

接着，我们可以求出每个内角对应的外角。由于内角和=外角和，所以每个外角对应的内角也是可求的。由于相邻内角补角相等，所以每个外角的补角就是相邻的两个内角和。因此，每个外角的度数为：

180度-((N-2)×180度)/N

如果把每个外角的度数加起来，就可以得到：

N×(180度-((N-2)×180度)/N)

经过简化，可以得到：

360度

因此，我们可以得出结论，N边形的外角和确实为360度。

总结

综上所述，我们介绍了两种证明N边形外角和为360度的方法。归纳法可以很好地帮助我们理解多边形之间的关系，只需要证明基准情况成立及当基准情况成立时下一级问题也能成立，则总体结论成立；而角度和公式则提供了一种简捷的数学计算方式，通过求内角得到外角和为360度。每一种方法都有其独特的优点，在实际使用中应具体问题具体分析，选用最适合的证明方法。