1.几何尺规作图问题 大四最难的数学题 这里所说的“几何尺规作图问题”是指做图限制只能用直尺、圆规，而这里的直尺是指 没有刻度只能画直线的尺。“几何尺规作图问题”包括以下四个问题 (1)化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆 (2)三等分任意角 (3)倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍 (4)做正十七边形。 以上四个问题一直困扰数学家二千多年都不得其解，而实际上这前三大问题都已证明不 可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
第四个问题是高斯用代数的方法解决的，他也视此为 生平得意之作，还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上，但後来他的墓碑上并没有刻上十七 边形，而是十七角星，因为负责刻碑的雕刻家认为，正十七边形和圆太像了，大家一定分辨 不出来。
2、蜂窝猜想 四世纪古希腊数学家佩波斯提出，蜂窝的优美形状，是自然界最有效劳动的代表。他猜想， 人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝，是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称 为蜂窝猜想，但这一猜想一直没有人能证明。1943 年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所有首 尾相连的正多边形中，正多边形的周长是最小的。
1943 年，匈牙利数学家陶斯巧妙地证明，在所 有首尾相连的正多边形中，正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时，会发生什 么情况呢?陶斯认为，正六边形与其他任何形状的图形相比，它的周长最小，但他不能证明这一 点。而黑尔在考虑了周边是曲线时，无论是曲线向外突，还是向内凹，都证明了由许多正六边形 组成的图形周长最校他已将 19 页的证明过程放在因特网上，许多专家都已看到了这一证明， 认为黑尔的证明是正确的。
3、孪生素数猜想 1849 年，波林那克提出孪生素生猜想(the conjecture of twin primes)，即猜测存在无穷 多对孪生素数。孪生素数即相差 2 的一对素数。例如 3 和 5 ，5 和 7，11 和 13，…，10016957 和 10016959 等等都是孪生素数。1966 年，中国数学家陈景润在这方面得到最好的结果：存 在无穷多个素数 p，使 p+2 是不超过两个素数之积。孪生素数猜想至今仍未解决，但一般人 都认为是正确的。