没有什么避嫌成语，有举亲不避嫌这种说法。
全句是“举贤不避亲，举亲不避嫌”
意思：推举贤能的人不要避讳自己亲人。“举亲不避嫌”意思：推举自己的亲人不要避讳嫌言嫌语。
这两个词都是晋国国君形容臣子祁奚的。“举贤不避亲”是由“举贤不避亲仇”演化而来，出自《吕氏春秋》的《去私》。
什么避嫌成语

关于“避嫌”的成语 (6个)
1避嫌守义
成语拼音：bì xián shǒu yì
成语解释：嫌：嫌疑守义：保守道义。避开嫌疑，保守道义
成语出处：明·罗贯中《三国演义》第73回：“今主公避嫌守义，恐失众人之望。”
2瓜田不纳履，李下不正冠
成语拼音：guā tián bù nà lǚ，lǐ xià bù zhèng guān
成语解释：比喻避嫌疑。同“瓜田不纳履，李下不整冠”。
成语出处：《艺文类聚》卷四一引三国 魏 曹植《君子行》：“君子防未然，不处嫌疑间瓜田不纳履，李下不正冠。”
3瓜田不纳履，李下不整冠
成语拼音：guā tián bù nà lǚ，lǐ xià bù zhěng guān
成语解释：经过瓜田，不可弯腰提鞋经过李树下不要举起手来整理帽子。比喻避嫌疑
成语出处：三国 魏 曹植《君子行》：“君子防未然，不处嫌疑间瓜田不纳履，李下不正冠。”
4两小无猜
成语拼音：liǎng xiǎo wú cāi
成语解释：猜：猜疑避嫌。形容男女在幼小时一起玩耍天真无邪不避嫌疑。
成语出处：唐 李白《长干行》诗：“妾发初覆额，折花门前剧，郎骑竹马来，绕床弄青梅，同居长干里，两小无嫌猜。”
5少小无猜
成语拼音：shào xiǎo wú cāi
成语解释：猜：猜疑。指男女幼小时一起玩耍，天真无邪，不避嫌疑。
成语出处：唐·李白《长干行》诗：“同居长干里，两小无嫌猜。”
6无私有意
成语拼音：wú sī yǒu yì
成语解释：自己虽无私心，别人则将认为有意。意为要避嫌疑。
成语出处：明·施耐庵《水浒传》第48回：“他是梁山泊造反的人，我如何与他厮见！无私有意，你可回他话道，只说我卧病在床，动止不得，难以相见。”