341=31*11，为伪质数
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如果一个大于1的数不能被小于它本身开方的任何一个数整除，那它就是质数 还没发现更好的办法
证明： 显然P是奇质数，于是P=3m,或P=3m+1,或P=3m+2 若P=3m+1，则 P^2+2=(3m+1)^2+2=3(3m^2+2m+1) 若P=3m+2，则 P^2+2=(3m+2)^2+2=3(3m^2+4m+2) 因此，仅当P=3m时，P^2+2才可能是奇数， 仅当m=1时，P是奇数...
一切质数X以3分类可分为3K+1或3K-1或3 1. X=3K+1时 X+14=3K+1+14=3K+15=3(K+5)不为质数 所以X不是3K+1的数 2. X=3K-1时 X+10=3K-1+10= 3K+9=3(K+3)不是质数 所以X不是3K-1的数 3. X=3时 X+10=3+10=13...
这个我也想了好久的，后来问老师，他们都说这是一个规定，或者说结论似的，是不用证明的，哪天不爽了也可以改它为奇数或者什么的。
n=13 原式=13²-3×13+13=13×(13-3+1)=13×11 不是质数
当x充分大时（0，x]内的质数个数与lnx成正比，这时（0，x]内的质数个数不少于（x，2x]中的质数个数。剩下的工作是检查有限的一段，例如（0,1000）即可。
两个完全平方数中间至少有两个质数（小的平方数≥1）.【正确】完全平方数的性质：一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数.就算除0外最小的平方数是1,第二小的平方数就是4（4＝2×2）,它们之间就是2和3两个质数.所以正确.
假设：质数个数为有限的n个：p1、p2、...、pn 显然，数P=p1*p2*...*pn+1不能被这n个质数中的任何一个整除。 因此，P必为质数。 这与只有n个质数的假设矛盾。 因此，质数个数无限。
质数P大于等于5， ∴p=6k-1,或6k+1,k∈N+; ∴2p+1=12k-1,或12k+3(舍）, ∴4p+1=24k-3=3（8k-1),是合数。
详细解答如下：
几千年以前欧几里德证明了这个问题。证明如下：假设只有有限个质数，如n个：2，3，5，……p中，构造一个数M=2·3·5····p+1。M如果是合数，必有一个素数因子q，因为只有有限个素数，所以q必然是2，3，5，……p中一个。但是q必然不同于2，3，5 ……中任意一个，因为q整除于2·3·5····...
勾股数组中必有一个偶数，偶质数只有2， 只能是m^2-n^2=2^2， m>2 ->(m-n)(m+n)=2^2, m,n是质数，m=3是显然无解， m≠3，则m-n≥2，m+n>2，与(m-n)(m+n)=2^2矛盾 所以不可能
所有的奇数都可以表示成4n+1,和4n+3的形式。 令4m＋3是最大的这种素数。 构造 s=2*3*5*7........*（4m＋3）(4m+3内所有素数相乘） p=s+1 现在用s÷4 我们可以知道 s是偶数，但余数是不等于0,因为所有素数只有2一个素数。 所以余数只能等于2 令s÷4＝4k+2...
在区间（2^n,2^(n+1)),n∈N+中至少有1个质数（详见华罗庚《数论导引》），易知命题成立。
陈景润,是通过素数表,找到N以内的素数P1,再找（N-P1）是否是P2,证明很多偶数N=P1 殆素数的,从而证明N=P1 P2*P3这些粗浅的结果的.
如果a|b,则b=ma b^3=m^3a^3 a^3|b^3
证明: 因为相邻的两个自然数是互质的．（没有约数） 所以(n！，n！-1)=1 由于不超过n的自然数都是n！的约数， 所以不超过n的自然数都与（n！-1）互质(否则，n！与n！-1不互质)， 于是（n！-1）的质约数p一定大于n， 即n＜p≤n！-1＜n！． 所以，在n与n！之间一定有一个素数．
老大，这个是哥德巴赫猜想的一般形式，你去证明吧
>7的奇数为2n+1，n>3，即2n和1（1是奇质数）之和。因此要证明2n(n>3时)是2个奇质数的和。这个问题就是著名的歌德巴赫猜想
您这是“数学王冠上的明珠”——哥德巴赫猜想啊！也即数论中的“1＋1”论题，陈景润也只做到“1＋2”啊！……——让我们一起等待伟大无比的奇迹出现吧！……吼吼！……吼吼吼！！！……您的追问让本人惭愧到了极极点！确实确实，确确实实，确确确确实实实实，本人无法解答……并且，不敢再回答您提出的类似问题！
你以为你是哥德巴赫呢还是认为我们是陈景润呢？？？？？
1.假设根号2是有理数,根号2=M/N,M和N既约(就是不能再约了) 两边平方:2=M^/N^ M^=2N^ 因为右边是偶数,所以左边也是偶数 所以M是偶数,M=2P,M^=4P^,2N^=4P^,N^=2P^ 所以N也是偶数, 所以M,N还能约,这与假设矛盾 因此,根号2是无理数
