数列练习题（1）

1.找出规律后填出下面数列中括号里的数:

(1) 1， 3， 5， 7， ( )， 11， 13， ( )，…

(2) 1， 4， 7， 10， ( )， 16， 19， …

(3) 1， 3， 6， 10， 15， ( )， 28，…

(4) l， 2， 4， 5， 7， 8， ( )， ( )，…

(5) 5， 7， 11， 19， 35， ( )， 131; 259，…

2.已知等差数列5，9，13，17，…，它的第15项为_______.

3.已知等差数列2，7，12，…，122，这个等差数列共有_____项。

4.从25往后数18个连续的奇数，最后一个奇数是______.

5.被4除余1的两位数共有____个。

6.等差数列2，5，8，11，…，共有80项，其中所有奇数的和为_____.

7.一个等差数列的第2项是2.8，第3项是3.1，则这个数列的第10项是_____.

8.有10个同学聚会，见面时如果每人都和其余的每个人握一次手，那么共握手

____次。

9.在1949，1950，1951，……，1999，2000这52个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多_____。

10.某市举行数学竞赛，比赛前规定，前15名可以获奖，比赛结果第一名1人，每2名并列2人，每三名并列3人，……，每十五名并列15人，用最简便的方法计算出得奖的一共有______人。

11.已知等差数列5，8，11，…，它的第21项为______。

12.自1开始，每隔三个自然数写出一个自然数来，得到一个数列，这个数列的`前五项是

__________________，这个数列的前50项的和是_____________。

13.所有被7除余数是1的二位数的和是_________。

14.在13和29之间插入三个数，使这五个数成等差数插入的三个数依次是_______.

15.有一批铁管，最低下一层是10根，倒数第二层是9根，以后每往上一层，铁管少一根，那么十层铁管一共有______根。

16.从角AOB的顶点0引10条射线，问这个图形中一共可形成_______个角。

17.小玲从一月一日开始写大字。第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大

字，结果全月一共写了589个大字，小玲每天比前一天多写______个大字。

18.九个连续偶数的和比其中最小的数多232，这九个数中最大的数是______。

19.学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场，一共进行了78场比赛，有____人参加了选拔赛。

20.编号为l~9的九个盒子中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多同样多粒米，如果一号盒子放11粒米，问:后面的盒子比它前一号的盒子多放____粒米;如果3号盒子内放了23粒米呢?

数列练习题（2）

高一必修五数列练习题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为(  )

A．6    B．7    C．8    D．9

解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.

答案：A

2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是(  )

A.12         B．1         C．2          D．3

解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.

答案：C

3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于(  )

A．1           B．－4          C．4             D．5

解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…

故{an}是以6为周期的数列。

∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.

答案：A

4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是(  )

A．d＜0   B．a7＝0

C．S9＞S5   D．S6与S7均为Sn的最大值

解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.

又S7＞S8，∴a8＜0.

假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.

∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误.

答案：C

5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为(  )

A．－12   B.12

C．1或－12   D．－2或12[

解析：设首项为a1，公比为q。

则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．

当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2。

∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0。

解得q＝1(舍去)，或q＝－12.

综上，q＝1，或q＝－12.

答案：C

6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于(  )

A．3           B．4             C．5             D．6

解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45。

∴n＝2时，an最小；n＝1时，an最大．

此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.

答案：A

7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是(  )

A．a21a22          B．a22a23            C．a23a24            D．a24a25

解析：∵3an＋1＝3an－2。

∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.

∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)．

令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.

又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.

答案：C

8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为(  )

A．1.14a   B．1.15a

C．11×(1.15－1)a   D．10×(1.16－1)a

解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1＝a，w

an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．

∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a.

答案：C

9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为(  )

A．25           B．50             C．1 00           D．不存在

解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10.    ∴a7＋a14＝10.

又a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25.

答案：A

10．设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn(  )

A．在直线mx＋qy－q＝0上

B．在直线qx－my＋m＝0上

C．在直线qx＋my－q＝0上

D．不一定在一条直线上

解析：an＝mqn－1＝x，             ①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，  ②

由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)， 即qx－my＋m＝0.

答案：B

11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为(  )

A．n2－n   B．n2＋n＋2

C．n2＋n   D．n2－n＋2

解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2.

答案：D

12．设m∈N*，log2m的.整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是(  )

A．8 204  B．8 192

C．9 218  D．以上都不对

解析：依题意，F(1)＝0。

F(2)＝F(3)＝1，有2 个

F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．

F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．

F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．

…

F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．

F(1 024)＝10，有1个．

故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.

令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①

则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②

①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝

2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2。

∴T＝8×210＋2＝8 194， m]

∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.

答案：A

第Ⅱ卷 (非选择 共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 ，共20分．

13．若数列{an} 满足关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数 列的通项公式为__________．

解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)。

∴{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列。

∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1.

答案：an＝3n－1

14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的大小关系是__________．

解析：设{an}的公差为d，则d≠0.

M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]

＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.

答案：M＜N

15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________.

解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上。

∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列．

∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n。

∴an＝6n2.

∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1

∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.

答案：6nn＋1

16．观察下表：

1

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

…

则第__________行的各数之和等于2 0092.

解析：设第n行的各数之和等于2 0092。

则此行是一个首项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列．

故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092， 解得n＝1 005.

答案：1 005

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.

(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn；

(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.

解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12。

∴{bn}是等比数列．

∵b1＝a1－2＝－32。

∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.

(2)an＝bn＋2＝－32n＋2。

Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2

＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.

18．(12分)若数列{an}的前n项和Sn＝2n.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.

解析：(1)由题意Sn＝2n。

得Sn－1＝2n－1(n≥2)。

两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．

当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2.

∴an＝2  (n＝1)，2n－1  (n≥2).

(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)。

∴b2－b1＝1。

b3－b2＝3。

b4－b3＝5。

…

bn－bn－1＝2n－3.

以上各式相加，得

bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)

＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.

∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n。

∴cn＝－2     (n＝1)，(n－2)×2n－1  (n≥2)。

∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1。

∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.

∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n

＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n

＝2n－2－(n－2)×2n

＝－2－(n－3)×2n.

∴Tn＝2＋(n－3)×2n.

19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．

解析：(1)依题意，得

3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.

∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1。

即an＝2n＋1.

(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1。

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)

＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.

20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.

(1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等比数列；

(2)求通项an. 新 课  标  第  一 网

解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn。

ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1。

两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1。

即an＋1＝ban＋2n.①

(1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n.

于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n

＝2an－n2n－1.

又a1－ 120＝1≠0。

∴{an－n2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．

(2)当b＝2时。

由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1

当b≠2时，由①得

an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n

＝ban－12－b2n。

因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn.

得an＝2，          n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]，  n≥2.

21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有 20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．

解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13.

所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．

设还需组织(n－1)辆车，则

a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25.

所以n2－145n＋3 000≤0。

解得25≤n≤120，且n≤73.

所以nmin＝25，n－1＝24.

故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．

22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．

解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)。

得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.

∵P1为L的轨迹与y轴的交点。

∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1.

∵数列{an}为等差数列，且公差为1。

∴an＝n－1(n∈N*) ．

代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．

＝5n2－n－1＝5n－1102－2120.

∵n∈N*。

(3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)。

∴c2＋c3＋…＋cn

＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.

数列练习题（3）

等比数列练习题

等比例数列是高中数学必学的一个知识，为了巩固同学们的知识，小编为大家准备了等比数列练习题，希望大家加油。

一、选择题

1．等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于(  )

A．6   B．3×2n－1

C．2×3n－1   D．6n

答案：C

2．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为(  )

A.322n   B.322n－2

C．32n－2   D．32n－1

解析：选C.∵q3＝a5a2＝243＝8，∴q＝2，而a1＝a2q＝32，∴an＝32×2n－1＝32n－2.

3．等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a3－a1＝16，则a3等于(  )

A．20   B．18

C．10   D．8

解析：选B.设公比为q(q≠1)，则

a1＋a2＝a1(1＋q)＝8。

a3－a1＝a1(q2－1)＝16。

两式相除得：1q－1＝12，解得q＝3.

又∵a1(1＋q)＝8，∴a1＝2。

∴a3＝a1q2＝2×32＝18.

4．(2010年高考江西卷)等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝(  )

A．(－2)n－1   B．－(－2)n－1

C．(－2)n   D．－(－2)n

解析：选A.∵|a1|＝1。

∴a1＝1或a1＝－1.

∵a5＝－8a2＝a2q3。

∴q3＝－8，∴q＝－2.

又a5＞a2，即a2q3＞a2。

∴a2＜0.

而a2＝a1q＝a1(－2)＜0。

∴a1＝1.故an＝a1(－2)n－1＝(－2)n－1.

5．下列四个命题中正确的是(  )

A．公比q＞1的等比数列的各项都大于1

B．公比q＜0的等比数列是递减数列

C．常数列是公比为1的等比数列

D．{lg2n}是等差数列而不是等比数列

解析：选D.A错，a1＝－1，q＝2，数列各项均负．B错，a1＝1，q＝－1，是摆动数列．C错，常数列中0,0,0，…，不是等比数列．lg2n＝nlg2，是首项为lg2，公差为lg2的等差数列，故选D.

6．等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项是(  )

A．±4   B．4

C．±14   D.14

解析：选A.由an＝182n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.

二、填空题

7．若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的.连续三项，则x的值为__________．

解析：由于x,2x＋2,3x＋3成等比数列。

∴2x＋2x＝3x＋32x＋2＝32且x≠－1,0.

∴2(2x＋2)＝3x，∴x＝－4. X k b 1 . c o m

答案：－4

8．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝__________；若an＝an＋3，则公比q＝__________.

解析：∵an＋2＝an，∴anq2＝an，∴q＝±1；

∵an＝an＋3，∴an＝anq3，∴q＝1.

答案：±1 1

9．等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式为an＝________.

解析：a3＝a1q2＝3，a10＝a1q9＝384.

两式相比得q7＝128，∴q＝2，∴a1＝34.

an＝a1qn－1＝34×2n－1＝32n－3.

答案：32n－3

三、解答题

10．已知数列{an}满足：lgan＝3n＋5，求证：{an}是等比数列．

证明：由lgan＝3n＋5，得an＝103n＋5。

∴an＋1an＝103n＋1＋5103n＋5＝1000＝常数．

∴{an}是等比数列．

11．已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{an}的通项公式．

解：设等比数列{an}的公比为q。

则q≠0.a2＝a3q＝2q，a4＝a3q＝2q。

∴2q＋2q＝203.解得q1＝13，q2＝3.

当q＝13时，a1＝18。

∴an＝18×(13)n－1＝2×33－n.

当q＝3时，a1＝29。

∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.

综上，当q＝13时，an＝2×33－n；

当q＝3时，an＝2×3n－3.

12．一个等比数列的前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，则－1312是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．

解：∵a,2a＋2,3a＋3是等比数列的前三项。

∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2.

解得a＝－1，或a＝－4.

当a＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0。

与等比数列定义矛盾，故a＝－1舍去．

当a＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9。

则公比为q＝32，∴ an＝－4(32)n－1。

令－4(32)n－1＝－1312。

即(32)n－1＝278＝(32)3。

∴n－1＝3，即n＝4。

∴－1312是这个数列中的第4项．