解法一： 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax 对函数g(x)求导数：g'(x)=ln(x+1)+1-a 令g'(x)=0,解得x=e^(a-1)-1 (i)当a≤1时,对所有x＞0,g'(x)＞0,所以g(x)在[0,＋∞)上是增函数 又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0) 即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax (ii)当a＞1时,对于0＜x＜e^(a-1)-1,g'(x)＜0,所以g(x)在(0,e^(a-1)-1)是减函数 又g(0)=0,所以对0＜x＜e^(a-1)-1,都有g(x)＜g(0) 即当a＞1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立 综上,a的取值范围是(-∞,1] 解法二： 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax 于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立 对函数g(x)求导数：g'(x)=ln(x+1)+1-a 令g'(x)=0,解得x=e^(a-1)-1 当x＞e^(a-1)-1时,g'(x)＞0,g(x)为增函数,当-1＜x＜e^(a-1)-1,g'(x)＜0,g(x)为减函数,所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e^(a-1)-1≤0 由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1]。
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