一平面内,有N条直线,最多可以将平面分成几部分? 第1条直线：把平面分成 1+1 个部分 加1条直线：与第1条直线相交成2段，每段把原部分分成2份 即：总份数+2--->总份数=(1+1)+2 再加1条直线：与前2条直线相交成3段，每段把原部分分成2份 即：总份数+3--->总份数=(1+1+2)+3 ... 第n条直线：与前n-1条直线相交成n段，每段把原部分分成2份 即：总份数+n--->总份数=[1+1+2+3+...+(n-1)]+n --->总份数=[1+1+2+3+...+(n-1)]+n =1+n(n+1)/2 =(n²+n+2)/2
一条直线把平面分成两部分 在一条直线的基础上增加一条，这时第二条直线与第一条直线相交，只有一个交点，把原来的两个部分分别都分成两部分，一共是2+2=4部分 在两条直线的基础上增加一条，这时第三条直线与前两条直线相交时，当交点不在第三直线上的时候，这时第三直线被前两条截成三段，每一段都分原来的三部分成两部分，从而得到4+3=7部分。
在三直线的基础上的第四条直线与前三条相交最多有三个交点，从而把原来的7部分中的4部分分割而加倍，得到7+4=11部分。
总而言之每增加一条直线与原来的n-1条直线相交得到n-1个交点，第n条直线被n-1个交点分成n段，从而原来的部分知道n个被加倍，就是说 an=(a(n-1)-n)+2n=a(n-1)+n 只有得到数列{an}，其中a1=2，an=a(n-1)+n--->an-a(n-1)=n 同样a(n-1)-a(n-2)=n-1 …………………… ………………a4-a3=4 ………………a3-a2=3 ………………a2-a1=2 …………………a1=2 以上的n个等式相加得到an=2+2+3+4+……+(n-1)+n 所以an=2+(n-1)(n+2)/2=(n^2+n+2)/2 因此n条直线相交最多能把平面分割成(n^2+n+2)/2个部分。
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