由均值不等式a+b≥2√(ab),(a>0,b>0), 可得 f(x)=ax+(b/x)≥2√[(ax)·(b/x)]=2√(ab), 当且仅当ax=b/x,即x=√(b/a)时取"="号。 如图所示：对号函数f(x)=ax+(b/)x(a>0,b>0)在(0,√(ab)]上是减函数,在[√(ab),+∞)上是增函数,用增(减)函数定义不难证明之。
主要用于在用均值不等式求最值时"="成立的条件不满足时,改用对号函数f(x)=ax+(b/x)(a>0,b>0)的单调性,问题会迎刃而解。 比如试求函数y=sinx+(4/sinx),x∈[30°,90°]的值域。 ∵ x∈[30°,90°], ∴1/2≤sinx≤1, 若用均值不等式,则y≥2√4=4,但y=4却不是最小值,∵ "="号成立时sinx=4/sinx, ∴ sinx=±2,这是不可能的。
由对号函数f(x)=ax+(b/x)(a>0,b>0)的单调性,设sinx=t,则f(t)=t+(4/t)(1/2≤t≤1)(此时√(b/a)=2)在[1/2,1]上是减函数, ∴ f(min)=f(1)=5,f(max)=f(1/2)=17/2。
∴ 值域为[5,17/2] 。
答：由均值不等式a+b≥2√(ab),(a>0,b>0), 可得 f(x)=ax+(b/x)≥2√[(ax)·(b/x)]=2√(ab), 当且仅当ax=b/x,即...详情>>
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