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指数函数与对数函数的题

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指数函数与对数函数的题

函数f(x)=a^x+log(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值为?怎样做这道题?详细写出解题过程.

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  • 2006-09-29 19:13:08
      首先,要讨论函数f(x)=a^x+loga(x+1)在区间[0,1]上的最值问题,需要分情况讨论!
    ①、a∈(0,1]
    那么,显然,由于a^x在区间[0,1]上是递减的。
    而loga(x+1)在区间[0,1]上也是递减的。
    于是,显然,f(x)=a^x+loga(x+1)在区间[0,1]上也是递减的。
       所以,最大值为:f(0)=a^0+loga1=1+0=1; 最小值为:f(1)=a^1+loga2=a+loga2 于是,f(x)=a^x+log(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为: 1+(a+loga2)=a 解得:a=1/2。
       ②、a∈[1,+∝) 此时,由于a^x在区间[0,1]上是递增的。 而loga(x+1)在区间[0,1]上也是递增的。 因此,f(x)=a^x+loga(x+1)在区间[0,1]上也是递增的。
       于是,最大值为:f(1)=a^1+loga2=a+loga2; 最小值为:f(0)=a^0+loga1=1+0=1; 那么,f(x)=a^x+log(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为: (a+loga2)+1=a 解得:a=1/2(不符合,舍去!) 因此,综上所述,a的值只能是1/2! 。

    黑***

    2006-09-29 19:13:08

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