(1)1962+s(1962)=1980 (2)将S（n)＋n记作Sn，如果数n的末位数字为9，那么Sn+1＜Sn：如果末位数字不是9，那么Sn+1=Sn+2.对于任意自然数m＞2，选取最大的N，使Sn＜m,那么Sn+1≥m.显然，N的末位数字不是9。因此Sn+1=m+1或者Sn+1＝m.又显然S1＝2,于是命题得证。
用S(n)表示自然数n的所有数字之和 1.存在自然数n=1962,使n+S(n)=1980. ∵n≤1980,S(n)≤25(n=1979时取等号)试之,n=1962. 2.证明：任何两个连续自然数中能有一个表示成n+S(n)的形式，其中n是某一个自然数. 当n=1时,1和2中有2=1+1. 假设n=k时,k和k+1中有一个表示成k=a+S(a)的形式;(命题成立) 则n=k+1时,k+2=a+S(a)+2=(a+1)+S(a)+1属于n+S(n)的形式，(命题也成立) 因此,任何两个连续自然数中能有一个表示成n+S(n)的形式，其中n是某一个自然数. 证毕
用S(n)表示自然数n的所有数字之和
1。是否存在自然数n,使n+S(n)=1980?
2。证明：任何两个连续自然数中能有一个表示成n+S(n)的形式，其中n是某一个自然数。
(1)解:
因为S(n)表示自然数n的所有数字之和
所以 S(n)=n(n+1)/2
则
n+S(n)=1980
====> n+n(n+1)/2=1980
====> n^+3n-3960=0
由 n∈自然数,方程n^+3n-3960=0没有整数解
所以不存在自然数n,使n+S(n)=1980。
(2)证明:
(i ) 当n=1时,1和2中有2=1+1。
(ii) 假设n=k时,k和k+1中有一个表示成k=a+S(a)的形式;(命题成立)
则
n=k+1时,k+2=a+S(a)+2=(a+1)+S(a)+1属于n+S(n)的形式，(命题也成立)
因此,
任何两个连续自然数中能有一个表示成n+S(n)的形式，其中n是某一个自然数。
[(2)参考铁岭勤学者]
。
(1)易知n必为四位数，设n=|abcd|，所以 S(n)+n=1001a+101b+11c+2d=1980 显然，a=1 仅当b=9时，11c+2d=70,所以只有唯一解：c=6,d=2 当b<8时，无解 综上，n=1962. (2)任何两个连续自然数中能有一个表示成n+S(n)的形式等价于若记 T(n)=n+S(n),则对于任意自然数都有：T(k+1)-T(k)=2 即：S(k+1)-S(k)=1 故欲证明原题，只需证明上式即可。 设n=|m1m2…mk|，那么n+1=|m1m2…mk|+1 所以S(k)=10^k*m1+10^(k-1)*m2+…+mk， S(k+1)=10^k*m1+10^(k-1)*m2+…+mk+1, 所以显然，S(k+1)-S(k)=1 证毕。
用S(n)表示自然数n的所有数字之和 1.存在自然数n=1962,使n+S(n)=1980. ∵n≤1980,S(n)≤25(n=1979时取等号)试之,n=1962. 2.证明：任何两个连续自然数中能有一个表示成n+S(n)的形式，其中n是某一个自然数. 当n=1时,1和2中有2=1+1. 假设n=k时,k和k+1中有一个表示成k=a+S(a)的形式;(命题成立) 则n=k+1时,k+2=a+S(a)+2=(a+1)+S(a)+1属于n+S(n)的形式，(命题也成立) 因此,任何两个连续自然数中能有一个表示成n+S(n)的形式，其中n是某一个自然数.
解:S(n)=(1+n)*n/2=1/2+n*n/2 则n+S(n)=n*n/2+n+1/2=1980 ============================
