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一道数学题

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一道数学题

已知a,b,x,y均为正数,且a+b=10,a/x+b/y=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.

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    2005-10-01 21:12:15
  • a = 10-b
    (10-b)/x+b/y=1
    1-(10-b)/x = b/y
    y = bx/(x+b-10) > 18-x
    bx > (18-x)(x+b-10) = 18x+18b-180-x2-xb+10x = -x2+(28-b)x+18(b-10)
    x2+(2b-28)x+18(10-b) > 0
    ==> (2b-28)2-4*18(10-b) b2-28b+196 - 180+18b  b2-10b+16  (b-5)(b-5)  b-5  b<8
    ????......

    H***

    2005-10-01 21:12:15

  • 2005-10-01 20:53:31
  • 因为a/x+b/y=1,所以x+y=(x+y)(a/x+b/y)=a+b+bx/y+ay/x=10+bx/y+ay/x
    又因为bx/y+ay/x≥2√(bx/y)(ay/x)=2√(ab),当且仅当bx/y=ay/x时成立
    x+y最小值为10+2√(ab)=18,所以ab=16,又因为a+b=10,所以a=2,b=8或a=8,b=2

    1***

    2005-10-01 20:53:31

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