首先，你说的第二个定义的另一种完整的表示方法可以这样理解为: 对任意无穷小ε（ε>0）,存在δ>0,当有无限个xn，使|xn-a|0,总有无限个xn ，使|xn-0|<δ时，满足|f(x)-A|<ε(A可以取[-1,1]内任意的常数)，但A不是它的极限。
四楼的函数，正解
取x_n=(-1)^n,满足第二个"定义",但显然没有极限.
详细解答过程如下图所示（点击放大）
如果对于每一个预先给定的任意小的正数ε,总存在着一个正数N,使得对于n>N时的一切Xn, 有|Xn-a|N，|Xn-0|<ε,所以该数列以0为极限。
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