高一数学难题增函数f(x)对x>0有意义，且f(2)=1，爱问知识人

高一数学难题

        增函数f(x)对x>0有意义，且f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y).
        (1)求证：f(1)=0；
        (2)若f(x)+f(x-3)≤2，求x的范围；
        (3)在已学过的函数中，举一个符合上述要求的函数f(x)。

s***

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(1)
f(1)=f(1×1)=2f(1),
∴f(1)=0.
(2)f(x)在x>0是增函数.
∴f[x(x-3)]=f(x)+f(x-3)≤f(4)=2f(2)=2,
∴0x

孤***

2012-08-24 21:45:00

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解：（1）设：x=1,y=1
          因为 f(xy)=f(x)+f(y)
            所以f(1)=f(1)+f(1)
                f(1)=0
     (2)2=f(2)+f(2)=f(4)
        f(x)+f(x-3)=f(xx-3x)
        即f(xx-3x)≤f(4),所以xx-3x-4≤0
        (x-4)(x+1)≤0
         所以-1≤x≤4,因为x>0,所以0
		                全部

无***

2012-08-24 21:49:22

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(1)
设x=1，y=2，则
f(xy)=f(x)+f(y)
→f(1·2)=f(2)=f(1)+f(2)
→f(1)=0.
(2)
f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤2，
而2=1+1=f(2)+f(2)=f(4)
故f[x(x-3)]≤f(4).
而f(x)为增函数，
∴x(x-3)≤4
→(x+1)(x-4)≤0
→-1≤x≤4.
而已知f(x)对x>0才有意义，
在f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]中，有
x(x-3)>0→x>3.
∴x取值范围为：3
		                全部

柳***

2012-08-24 21:46:08

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