1。1000以内能被13整除的所有自然数的和为 38038。
1000以内能被13整除的自然数有0,13,26,39,……，988
而988=13*76
这些数构成一个首项为0，公差为13的等差数列,共77项
S=77(0+988)/2=38038
2。
  在等差数列{an}中，满足3a4=4a7,且a1>0。若sn取得最大值。则n=15或16
因为 3a4=4a7
所以3(a1+3d)=4(a1+6d))
a1=-15d
又a1>0,
所以d16时,an0
因此若sn取得最大值,则n=15或16
3。
  若两个等差数列3，7，11。。。和5，8，11都有100项，则他们相同项组成的各项和为3875 
等差数列3,7,11,……首项为3，公差为4，an=3+(n-1)*4=4n-1
其第100项为399
等差数列5,8,11,……首项为5，公差为3，bn=5+(n-1)*3=3n+2
其第100项为302
设他们相同项组成的数列为{cn},则{cn}是首项为11,公差为12的等差数列,cn=11+(n-1)*12=12n-1
由12n-1≤399且 12n-1≤302
得n≤25。
  25
所以取n=25
也就是说他们相同的项组成的数列{cn}有25项
c25=299
s25=25(11+299)/2=3875
4。在等差数列{an}中a1=1。S2n:Sn是一个与n无关的常数，则公差为0或2。
设S2n:Sn=[2n(a1+a2n)/2]:[n(a1+an)/2]
=(2a1+2a2n)/(a1+an)
={2a1+2[a1+(2n-1)d]}/{a1+[a1+(n-1)d]}
=[4a1+2d(2n-1)]/[2a1+(n-1)d]
=(4+4dn-2d)/(2+dn-d)。
      (因为a1=1)
=t
则4+4dn-2d=2t+dnt-dt
(4d-dt)n+4-2d-2t+dt=0
因为S2n:Sn是一个与n无关的常数
所以等式(4d-dt)n+4-2d-2t+dt=0也是一个与n无关的常数
∴4d-dt=0且4-2d-2t+dt=0
由4d-dt=0得d=0或t=4
若t=4则4-2d-8+4d=0,d=2
综上所述,数列{an}的公差为0或2。