几何证明三点共线 四边形ABCD内接于圆, 其边AB与CD延长交于P，BC与AD延长交于Q，过Q作该圆切线，切点为E，F。求证:P,E,F三点共线。 证明 连EF，分别交AD与BC于点M，N。记BD与AC交于R。 欲证P，E，F三点共线，只须证明P，M，N三点共线，为此只须分别证明P，R，M与P，N，R都三点共线。
而要证P，R，M三点共线，又只须证AC，BD，PM三线共点。 在△ADP中，由塞瓦定理的逆定理知只需证明: (AB/BP)*(PC/CD)*(DM/MA)=1 (1) 直线QCB与△ADP相截，由梅涅劳斯定理有 (AB/BP)*(PC/CD)*(DQ/QA)=1 (2) 比较(1)与(2)知, 只须证明 DM/AM=DQ/AQ (3) (3)式证明简单。
故P，R，M三点共线。 同理可证:P，N，R都三点共线。 从而P,E,F三点共线。 。
看图
四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。 证 如图。 连接PQ，并在PQ上取一点M，使得 B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。
设PF与圆的另一交点为E’，并作QG?APF，垂足为G。易如 QE2=QM?QP=QC?QB ① ∠PMC=∠ABC=∠PDQ。 从而C，D，Q，M四点共圆，于是 PM?PQ=PC?PD ② 由①，②得 PM?PQ+QM?PQ=PC?PD+QC?QB， 即PQ2=QC?QB+PC?PD。
易知PD?PC=PE’?PF，又QF2=QC?QB，有 PE’?PF+QF2=PD?PC+QC?AB=PQ2， 即PE’?PF=PQ2-QF2。又 PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)?(PG－GF) =PF?(PG－GF)， 从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。
所以P，E，F三点共线。 。
答：如图： 以C为圆心、BC为半径作圆C，交AC于E、交AC的延长线于F。 BC=EC-FC → AE=AC-BC, AF=AC+BC 如果△ABF∽△ADE就会有...详情>>
