若等式成立，则当n=k、k+1时分别有： (1/k)^3+(2/k)^3+…+(k/k)^3=(ak^2+bk+c)/k ...(1) [1/(k+1)]^3+..+[(k+1)/(k+1)]^3=[a(k+1)^2+b(k+1)+c]/(k+1)..(2) (2)*(k+1)^2 -(1)*k^2，得k的4次多项式： ak^4+(b+1)k^3+(c+3)k^2+3k+1 = ak^4+(4a+b)k^3+(6a+3b+c)k^2+(4a+3b+2c)k+(a+b+c) ...(3) (3)恒等，得： b+1=4a+b, c+3=6a+3b+c, 3=4a+3b+3c, 1=a+b+c ==> a=b=c =1/3 因此，存在常数a=b=c=1/3，使等式成立
(1/n)^3+(2/n)^+。。。+(n/n)^3 =[1^3+2^3+。。。+n^3]/n^3 =[n(n+1)/2]^2/n^3 =(n+1)^2/n =[(1/4)n^2+(1/2)n+(1/4)]/n 所以存在a=1/4,b=1/2,c=1/4。
严格来说这个等式需要用归纳法证明。 上面用了一个常见的求和公式 1^3+2^2+3^3+。。。+n^3=[1+2+。。+n]^2=[n(n+1)]^2/4。 这个公式可以用数学归纳法证明： n=1, 左边=1，右边=[1*2]^2/4=1。
左边=右边。 如果在n时候成立，就是 1^3+2^3+。。。+n^3=[n(n+1)]^2/4。 要证明n+1时候也成立： 左边=1^3+2^3+。。。+n^3+(n+1)^3 =[n(n+1)]^2/4+(n+1)^3 =(n+1)^2*[n^2+4(n+1)]/4 =(n+1)^2*(n+2)^2/4 =[(n+1)(n+2)]^2/4 =右边。
所以1^3+2^2+3^3+。。。+n^3=[1+2+。。+n]^2=[n(n+1)]^2/4对所以正整数n都成立。 。
(1/n)^3+(2/n)^3+……+(n/n)^3 =(1^3+2^3+3^3+……+n^3)/n^3 =[n(n+1)(2n+1)/6]/n^3 =(n+1)(2n+1)/n^2=(2n^2+3n+1)/n^2 所以不存在这样的a，b，c。 PS：如果把分母n改作n^2,就存在a=2,b=3,c=1.
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