1>, 数列an=2^n+3^n,且数列an-pa(n-1)是等比数列,求常数p
a2-pa1=4+9-p(2+3)=13-5p,
a3-pa2=8+27-p(4+9)=35-13p
a4-pa3=16+81-p(8+27)=97-35p
由于数列{an-pa(n-1)}是等比数列，
必须 (35-16p)^2 = (13-5p)(97-35p)
整理得 p^2 - 5p + 6 = 0
所以 p=2 或 p=3（必要性）
验证：（充分性）
当p=2时，an-pa(n-1) = 3^(n-1),是公比为3、首项为3的等比数列；
当p=3时，an-pa(n-1) = -2^n,是公比为3、首项为-2的等比数列；
所以 p=2 或 p=3
2>, cn,dn是公比不相等的两个等比数列,,判断cn+dn是等比数列吗
（答案应该在“一定是”、“一定不是”、“不一定是”里边选）
答案是：一定不是！
证明：用反证法：
设cn = cp^(n-1) （首项为c，公比为p）
dn = dq^(n-1) （首项为d，公比为q）
那么 c1 + d1 = c + d
c2 + d2 = cp + dq
c3 + d3 = cp^2 + dq^2
假设 {cn + dn} 是等比数列，则必有：
(cp + dq)^2 = (c + d)(cp^2 + dq^2)
整理得 cd(p-q)^2 = 0
所以 p=q，与条件矛盾
所以 “假设”是错误的
故 {cn + dn} 一定不是等比数列
说明：第二题如果题目问的是“数列{cn + dn}一定是等比数列吗？”，则回答就是“不一定”，而理由可以只举个反例就行了。
1. A(n+1)=2^(n+1)+3^(n+1), 设A(n+1)-pA(n)=q[An-pA(n-1)](q为常数且q≠0),即2^(n+1)+3^(n+1)=(p+q)(2^n+3^n)-pq[2^(n-1)+3^(n-1)]=0,即(4-2p=2q+pq)·2^(n-1)+(9-3p-3q+pq)·3^(n-1)=0,
∴ 4-2p=2q+pq=0且9-3p-3q+pq=0,解得p=2或p=3
2. 数列{cn+dn}不是等比数列.反例:
{cn}: 1,2,4,8,…,2^(n-1)是等比数列
{dn}: 1,3,9,27,…,3^(n-1)是等比数列
{cn+dn}: 2,5,13,35,…,2^(n-1)+3^(n-1)不是等比数列.
答：记an=C-pCn=2^(n+1)+3^(n+1)-p(2^n+3^n) =(2-p)*2^n+(3-p)*3^n, {an}是等比数列， a/an =[(2-...详情>>
答：详情>>
