双曲线与直线问题
1)过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P,Q,A1,A2为实轴顶点,A1P,A2Q交于点M,A2P,A1Q交于点N,M证明向量MF*NF=0 2)双曲线上一点P(X0,Y0),过P做倾角互补的两条直线PM,PN分别交于异于的两点M,N,证明直线MN有定向
1)ⅰ）设双曲线的方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1，
设A=（a/2，b/2），B=（a/2，-b/2）
设双曲线上两点P=tA+[1/t]B，Q=sA+[1/s]B
F=(c,0)= dA+dB,d=c/a,
则P，Q，F共线，有[1/t-1/s]/[t-s]=[1/t-d]/[t-d]
==》s=[t-d]/dt-1]
ⅱ）A1=（a，0），A2=（-a，0），
P=tA+[1/t]B=（[t+1/t]a/2，[t-1/t]b/2），
Q=（[s+1/s]a/2，[s-1/s]b/2）
A1P：y={ [（t-1/t）b/2]/[ （t+1/t）a/2-a]}（x-a）=
={ [（t+1）b]/[ （t-1）a]}（x-a）
A2Q：y={ [（s-1/s）b/2]/[ （s+1/s）a/2+a]}（x+a）=
={ [（s-1）b]/[ （s+1）a]}（x+a）= （代s=[t-d]/dt-1））
=[（1-d）/（1+d）]{ [（t+1）b]/[ （t-1）a]}（x-a）
==》M=（a^2/c，[（t+1）/（t-1）][b/c][a-c]）。
由对称性得
N=（a^2/c，[（s+1）/（s-1）][b/c][a-c]）=
（代s=[t-d]/dt-1））
=（a^2/c，[（1+d）/（1-d）][（t-1）/（t+1）][b/c][a-c]）
==》MF*NF=
=（a^2/c-c，[（t+1）/（t-1）][b/c][a-c]）*
（a^2/c-c，[（1+d）/（1-d）][（t-1）/（t+1）][b/c][a-c]）=（a^2/c-c）^2+[（t+1）/（t-1）][b/c][a-c]
[（1+d）/（1-d）][（t-1）/（t+1）][b/c][a-c]）=
= b^4/c^2+ b^2/c^2 [（1+c/a）/（1-c/a）] [a-c] ^2=0
2）
ⅰ）第二题用我上面说的方法，写给你参考。
ⅱ）设双曲线的方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1，
设A=（a/2，b/2），B=（a/2，-b/2）
则双曲线的点可写成：tA+[1/t]B，（向量的运算）
这表示方法用来计算过双曲线上两点的直线斜率较方便。
ⅲ）设双曲线上两点tA+[1/t]B，sA+[1/s]B，s≠t。
则两点的向量=tA+[1/t]B-[sA+[1/s]B]=[t-s][A-1/st]B
=[（t-s）/（2st）]（a[st-1]，b[st+1]）==》
其斜率=b[st+1]/a[st-1]。
ⅳ）P(X0,Y0)=tA+[1/t]B
M=sA+[1/s]B，N=uA+[1/u]B。
倾角互补==》b[st+1]/a[st-1]=-b[tu+1]/a[tu-1]。
==》[st+1][tu-1]+[st-1][tu+1]=0==》
t^2su-1=0==》
MN斜率=b[su+1]/a[su-1]=b[t^2+1]/a[1-t^2]和s，u无关，
只和t有关，直线MN有只和t有关定向（即只和P(X0,Y0)有关）。
注意：这方法实际是将双曲线用其渐进方向表示，
若会使用向量，则此法相对简单，其优点是避免开根号。
补：只推x>0,任意x≥a，有t>0使x=a[t+1/t]/2==》
==》y=b[t-1/t]/2，满足
x^2/a^2-y^2/b^2=1==》
（x，y）=tA+[1/t]B
。
