三角函数题(合集3篇)
三角函数题(1)
通过数学史引入三角函数线概念
早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的,因为当时人们需要穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林,或经水路沿着海岸线做冒险的长途航行,首先要明确方向.18世纪前,正弦、余弦、正切、余切、正割和余割,被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段,即三角学是以几何的面貌表现出来的,这是三角学的古典面貌.1748年,尤拉在著名的《无穷小分析引论》一书中指出:“三角函数是一种函数线与圆半径的比值.”即任意一个角的三角函数都可以认为是以这个角的顶点为圆心,以某定长为半径作圆,由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后,所得的线段OP,OM,MP(即函数线)相互之间所取的比值,sinα=MPOP,cosα=OMOP,tanα=MPOM等.若令半径为单位长,那么所有的六个三角函数又可大为简化.尤拉的这个定义是极其科学的,它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来,使它有可能去反映运动和变化的过程,从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.
正迁移引入三角函数线概念
同学们对于初中阶段在直角三角形中如何定义锐角三角形的正弦、余弦、正切值,记忆犹新,依据教育心理学正迁移对于学习的作用,不妨在直角坐标系中,利用单位圆先将特殊的锐角如π6,π4,π3的三角函数线画出,然后由特殊过渡到一般,从而得出任意角的三角函数线,这样同学们感到三角函数线有似曾相识的感觉,学习过程中体验如何将三角函数的“数”与“形”自然地结合在一起,达到“数”与“形”的完美结合,形成对数学美的感悟.
抓住三角函数线本质属性,有技巧地层层引导
引入单位圆,构建三角函数线的舞台
对教师而言,由比值yr到y,xr到x,再到正弦线、余弦线的两步跨越,看似简单,同学们却是比较难以想到,在此处尽可能清晰再现知识的建构过程,使同学们明确原则,把握概念的形成.从数学思想层面上可以突出三角函数“简约”为“一个变量”的思想方法,进而顺利实现用“三角函数线”这一直观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线,在教学过程中反复强调“最简化”“统一”的要求,而这样的理念或思想,不仅能体现本节数学方法的特点,同时也在数学教学的过程中占据重要的地位,具有普适性.
由正弦线与余弦线引导向正切线
同学们较容易理解与掌握正弦线与余弦线,是因为有直观感受,但是理解与掌握正切线有一定的难度,而突破这一难点的关键在于帮助学生充分理解“有向线段的数量”及相关概念.那么在讲一些诸如“有向线段”“有向线段的数量”等等比较数学化的很难表述的概念时,可以将同学们的注意力主要集中到关注“图形”与“数量”的对应关系上来,自然而然地突出了探究与确定“正、余弦函数线”的形成过程与基本方法,弗赖登塔尔指出,学生不是被动地接受知识,而是再创造,在这个阶段,如果可以给学生提供更为开阔一些的空间,那么到研究“正切函数线”时,学生就可以自觉或不自觉地用探究“正、余弦函数线”的方法解决新的问题.
三角函数题(2)
充分利用数形结合的解题
将三角函数的图形和坐标的定义联系起来,进而将数学中的代数问题转化为坐标轴上的几何问题,继而在坐标系中进行数字和图形的结合,进行数形结合的解题,通常而言在三角函数的数形结合解题方法之中,较为常用的代数转几何的解题模型主要有距离模型和斜率模型两者。如下题:
求解三件函数y=sinx/(2+cosx)的最值。在解答时就可以可以应用图形结合的解题方式,建立一个坐标系,设P(cosx,sinx),可以清楚的得知P是在一个单位圆上的一点,进而通过在坐标轴上的画出图形可知,函数y所表达的几何意义就是定点Q(-2,0)与P之间连线的斜率,同时可知连线PQ和单位圆相切时其斜率处于最值,并且有两个最值,最大值而后最小值,通过简单的计算可知最大值为 /3,最小值为- /3。
投机取巧,掌握一些特殊的三角函数
在三角函数之中,虽然很多的知识点是具有一定难度的,但是在题目的解答时,仍旧有很多的技巧可以使用,尤其是在选择题中,更是可以使用一些”投机取巧”的方式来进行题目的解答,进而减少解题的时间。在教学之中教师需要呈列出一些特殊的三角函数的值以及一些图形,并且要求学生掌握,对于一些理解能力强的学生可以进行理解记忆,对于记忆力好的学生可以选择死记硬背的方式。
在掌握一些特殊值之后再进行题目的解答,尤其是一些较为复杂的选择题,都可以选择带入一些特殊值或者直接带入选项来进行“试答案”。在答题之中虽然需要详细的将解题步骤写出来,但是掌握了一些特殊函数的值,在解题之中也可以更快的找出最佳的解题方式,而最后解答出的答案一般不会出错。对于高中阶段的三角函数而言,特殊值法的求解方式是一种在紧凑考试时间中较为用,且正确率有很高的一种解题技巧,值得学生在三角函数学习中熟练的掌握。
三角函数题(3)
通过数学史引入三角函数线概念
早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的,因为当时人们需要穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林,或经水路沿着海岸线做冒险的长途航行,首先要明确方向.18世纪前,正弦、余弦、正切、余切、正割和余割,被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段,即三角学是以几何的面貌表现出来的,这是三角学的古典面貌.1748年,尤拉在著名的《无穷小分析引论》一书中指出:“三角函数是一种函数线与圆半径的比值.”即任意一个角的三角函数都可以认为是以这个角的顶点为圆心,以某定长为半径作圆,由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后,所得的线段OP,OM,MP(即函数线)相互之间所取的比值,sinα=MPOP,cosα=OMOP,tanα=MPOM等.若令半径为单位长,那么所有的六个三角函数又可大为简化.尤拉的这个定义是极其科学的,它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来,使它有可能去反映运动和变化的过程,从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.
正迁移引入三角函数线概念
同学们对于初中阶段在直角三角形中如何定义锐角三角形的正弦、余弦、正切值,记忆犹新,依据教育心理学正迁移对于学习的作用,不妨在直角坐标系中,利用单位圆先将特殊的锐角如π6,π4,π3的三角函数线画出,然后由特殊过渡到一般,从而得出任意角的三角函数线,这样同学们感到三角函数线有似曾相识的感觉,学习过程中体验如何将三角函数的“数”与“形”自然地结合在一起,达到“数”与“形”的完美结合,形成对数学美的感悟.
抓住三角函数线本质属性,有技巧地层层引导
引入单位圆,构建三角函数线的舞台
对教师而言,由比值yr到y,xr到x,再到正弦线、余弦线的两步跨越,看似简单,同学们却是比较难以想到,在此处尽可能清晰再现知识的建构过程,使同学们明确原则,把握概念的形成.从数学思想层面上可以突出三角函数“简约”为“一个变量”的思想方法,进而顺利实现用“三角函数线”这一直观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线,在教学过程中反复强调“最简化”“统一”的要求,而这样的理念或思想,不仅能体现本节数学方法的特点,同时也在数学教学的过程中占据重要的地位,具有普适性.
由正弦线与余弦线引导向正切线
同学们较容易理解与掌握正弦线与余弦线,是因为有直观感受,但是理解与掌握正切线有一定的难度,而突破这一难点的关键在于帮助学生充分理解“有向线段的数量”及相关概念.那么在讲一些诸如“有向线段”“有向线段的数量”等等比较数学化的很难表述的概念时,可以将同学们的注意力主要集中到关注“图形”与“数量”的对应关系上来,自然而然地突出了探究与确定“正、余弦函数线”的形成过程与基本方法,弗赖登塔尔指出,学生不是被动地接受知识,而是再创造,在这个阶段,如果可以给学生提供更为开阔一些的空间,那么到研究“正切函数线”时,学生就可以自觉或不自觉地用探究“正、余弦函数线”的方法解决新的问题.