在三角形ABC中,ABAC,AD垂直于BC,垂足为D,P为AD上任一点,求证:PB-PCAB-AC.
在三角形ABC中，AB>AC,AD垂直于BC,垂足为D,P为AD上任一点，求证：PB-PC>AB-AC.
证明:AD⊥BC,则BD^2=AB^2-AD^2;CD^2=AC^2-AD^2。 ∵AB>AC,则AB^2>AC^2。 ∴BD^2>CD^2,BD>CD; 而PB^2-PC^2=(BD^2+PD^2)-(CD^2+PD^2)=BD^2-CD^2>0。
∴PB^2>PC^2,PB>PC。故AB-AC>0,PB-PC>0; ∵AB^2-AC^2=(BD^2+AD^2)-(CD^2+AD^2)=BD^2-CD^2; ∴AB^2-AC^2=PB^2-PC^2,即(AB+AC)(AB-AC)=(PB+PC)(PB-PC), 则:(PB-PC)/(AB-AC)=(AB+AC)/(PB+PC)。
由勾股定理可知:AB>PB,AC>PC,则: AB+AC>PB+PC,(AB+AC)/(PB+PC)>1,故:(PB-PC)/(AB-AC)>1。 两边同乘以(AB-AC)可得:PB-PC>AB-AC。
答：详情>>
